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2014-2018全国各省文科立体几何大题真题 一、解答题(共35小题;共455分)1. 如图,四边形 ABCD 是平行四边形,平面AED平面ABCD,EFAB,AB=2,DE=3,BC=EF=1,AE=6,BAD=60,G 为 BC 的中点(1)求证:FG平面BED;(2)求证:平面BED平面AED;(3)求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值 2. 如图,已知正三棱锥 PABC 的侧面是直角三角形,PA=6,顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D,D 在平面 PAB 内的正投影为点 E,连接 PE 并延长交 AB 于点 G(1)证明:G 是 AB 的中点;(2)在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F(说明作法及理由),并求四面体 PDEF 的体积 3. 如图,四棱锥 PABCD 中,PA 底面 ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M 为线段 AD 上一点,AM=2MD,N 为 PC 的中点(1)证明 MN平面PAB;(2)求四面体 NBCM 的体积 4. 如图,在平行四边形 ABCM 中,AB=AC=3,ACM=90,以 AC 为折痕将 ACM 折起,使点 M 到达点 D 的位置,且 ABDA(1)证明:平面ACD平面ABC;(2)Q 为线段 AD 上一点,P 为线段 BC 上一点,且 BP=DQ=23DA,求三棱锥 QABP 的体积 5. 如图,在三棱锥 VABC 中,平面VAB平面ABC,VAB 为等边三角形,ACBC 且 AC=BC=2,O,M 分别为 AB,VA 的中点(1)求证:VB平面MOC;(2)求证:平面MOC平面VAB;(3)求三棱锥 VABC 的体积 6. 如图,在三棱锥 PABC 中,AB=BC=22,PA=PB=PC=AC=4,O 为 AC 的中点(1)证明:PO平面ABC;(2)若点 M 在棱 BC 上,且 MC=2MB,求点 C 到平面 POM 的距离 7. 如图,矩形 ABCD 所在平面与半圆弧 CD 所在平面垂直,M 是 CD 上异于 C,D 的点(1)证明:平面AMD平面BMC;(2)在线段 AM 上是否存在点 P,使得 MC平面PBD?说明理由 8. 如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为矩形,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,E,F 分别为 AD,PB 的中点(1)求证:PEBC;(2)求证:平面PAB平面PCD;(3)求证:EF平面PCD; 9. 如图四面体 ABCD 中,ABC 是正三角形,AD=CD1. 证明:ACBD;2. 已知 ACD 是直角三角形,AB=BD,若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点,且 AEEC,求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比 10. 如图,四棱锥 PABCD 中,侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD,AB=BC=12AD,BAD=ABC=90(1)证明:直线BC平面PAD;(2)若 PCD 面积为 27,求四棱锥 PABCD 的体积 11. 如图,在四棱锥 PABCD 中,ABCD,且 BAP=CDP=90(1)证明:平面PAB平面PAD;(2)若 PA=PD=AB=DC,APD=90,且四棱锥 PABCD 的体积为 83,求该四棱锥的侧面积 12. 如图,在三棱锥 PABC 中,PAAB,PABC,ABBC,PA=AB=BC=2,D 为线段 AC 的中点,E 为线段 PC 上一点(1)求证:PABD;(2)求证:平面BDE平面PAC;(3)当 PA平面BDE 时,求三棱锥 EBCD 的体积 13. 如图,在四棱锥 PABCD 中,AD平面PDC,ADBC,PDPB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2(1)求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值;(2)求证:PD平面PBC;(3)求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值 14. 由四棱柱 ABCDA1B1C1D1 截去三棱锥 C1B1CD1 后得到的几何体如图所示,四边形 ABCD 为正方形,O 为 AC 与 BD 的交点,E 为 AD 的中点,A1E平面ABCD(1)证明:A1O平面B1CD1;(2)设 M 是 OD 的中点,证明:平面A1EM平面B1CD1 15. 如图,在四棱锥 PABCD 中,PC平面ABCD,ABDC,DCAC(1)求证:DC平面PAC;(2)求证:平面PAB平面PAC;(3)设点 E 为 AB 的中点在棱 PB 上是否存在点 F,使得 PA平面CEF?说明理由 16. 在如图所示的几何体中,D 是 AC 的中点,EFDB(1)已知 AB=BC,AE=EC求证:ACFB;(2)已知 G 、 H 分别是 EC 和 FB 的中点,求证:GH平面ABC 17. 如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,点 E,F 分别在 AD,CD 上,AE=CF,EF 交 BD 于点 H将 DEF 沿 EF 折到 DEF 的位置(1)证明:ACHD;(2)若 AB=5,AC=6,AE=54,OD=22,求五棱锥 DABCFE 的体积 18. 如图,四棱锥 PABCD 中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M 为线段 AD 上一点,AM=2MD,N 为 PC 的中点(1)证明:MN平面PAB;(2)求四面体 NBCM 的体积 19. 将边长为 1 的正方形 AA1O1O(及其内部)绕 OO1 旋转一周形成圆柱,如图,AC 长为 56,A1B1 长为 3,其中 B1 与 C 在平面 AA1O1O 的同侧(1)求圆柱的体积与侧面积;(2)求异面直线 O1B1 与 OC 所成的角的大小 20. 如图,在四棱锥中 PABCD 中,PACD,ADBC,ADC=PAB=90,BC=CD=12AD(1)在平面 PAD 内找一点 M,使得直线 CM平面PAB,并说明理由;(2)证明:平面 PAB平面PBD 21. 如图,圆锥的顶点为 P,底面圆心为 O,底面的一条直径为 AB,C 为半圆弧 AB 的中点,E 为劣弧 CB 的中点,已知 PO=2,OA=1,求三棱锥 PAOC 的体积,并求异面直线 PA 与 OE 所成角的余弦值 22. 如图,长方体 ABCDA1B1C1D1 中 AB=16,BC=10,AA1=8,点 E,F 分别在 A1B1,D1C1 上,A1E=D1F=4过点 E,F 的平面 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法与理由);(2)求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值 23. 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示,(1)请将字母 F,G,H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(2)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系,并证明你的结论;(3)证明:直线 DF平面BEG 24. 如图,三棱锥 PABC 中,PA平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,BAC=60,(1)求三棱锥 PABC 的体积;(2)证明:在线段 PC 上存在点 M,使得 ACBM,并求 PMMC 的值 25. 如图,三棱台 DEFABC 中,AB=2DE,G,H 分别为 AC,BC 的中点(1)求证:BD平面FGH;(2)若 CFBC,ABBC,求证:平面BCD平面EGH 26. 如图,三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3(1)证明:BC平面PDA;(2)证明:BCPD;(3)求点 C 到平面 PDA 的距离 27. 九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑在如图所示的阳马 PABCD 中,侧棱PD底面ABCD,且 PD=CD,点 E 是 PC 的中点,连接 DE,BD,BE(1)证明:DE平面PBC试判断四面体 EBCD 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由(2)记阳马 PABCD 的体积为 V1,四面体 EBCD 的体积为 V2,求 V1V2 的值 28. 如图,直三棱柱 ABCA1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形,E,F 分别是 BC,CC1 的中点(1)证明:平面AEF平面B1BCC1;(2)若直线 A1C 与平面 A1ABB1 所成的角为 45,求三棱锥 FAEC 的体积 29. 如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上异于 A,B 的点,PO 垂直于圆 O 所在的平面,且 PO=OB=1(1)若 D 为线段 AC 的中点,求证:AC平面PDO;(2)求三棱锥 PABC 体积的最大值;(3)若 BC=2,点 E 在线段 PB 上,求 CE+OE 的最小值 30. 如图,四边形 ABCD 是平行四边形,平面 AED平面ABCD,EFAB,AB=2,BC=EF=1,AE=6,DE=3,BAD=60,G 为 BC 的中点(1)求证:FG平面BED;(2)求证:平面BED平面AED;(3)求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值. 31. 如图,四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 的交点,BE平面ABCD(1)证明:平面AEC平面BED;(2)若 ABC=120,AEEC,三棱锥 EACD 的体积为 63,求该三棱锥的侧面积 32. 如图,已知 AA1平面ABC,BB1AA1,AB=AC=3,BC=25,AA1=7,BB1=27,点 E 和 F 分别为 BC 和 A1C 的中点(1)求证:EF平面A1B1BA;(2)求证:平面AEA1平面BCB1;(3)求直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角的大小 33. 如图,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,BAC=90,AB=AC=2,A1A=4,A1 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点,D 是 B1C1 的中点(1)证明:A1D平面A1BC;(2)求直线 A1B 和平面 BB1C1C 所成的角的正弦值 34. 如图,三棱锥 PABC 中,平面PAC平面ABC,ABC=2,点 D,E 在线段 AC 上,且 AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点 F 在线段 AB 上,且 EFBC(1)证明:AB平面PFE;(2)若四棱锥 PDFBC 的体积为 7,求线段 BC 的长 35. 如图(1),在直角梯形 ABCD
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