第2课时对数函数的图象与性质通过对数函数的图象及其变换，观察发现对数函数的性质，提高识图能力.对数函数ylogax(a1)与指数函数yax(a1)的性质比较函数yaxylogax图象性质定义域R定义域(0，)值域(0，)值域R过定点(0,1)过定点(1,0)当x0时，y1；当x0时，0y1当x1时，y0；当0x1时，y0在R上是增函数在(0，)上是增函数【做一做1】将指数函数f(x)3x的图象沿直线yx翻折后，可得函数_的图象答案：ylog3x【做一做2】将对数函数ylog2x的图象向右平移1个单位长度后可得函数_的图象答案：ylog2(x1)不同底数的图象之间的变化趋势是怎样的？剖析：由于对数函数ylogax的图象与直线y1交于点(a,1)(如图1所示)，所以对数函数ylogax的图象在x轴上方，从左到右对应的底数由小到大依次递增；由于对数函数ylogax的图象与直线y1交于点(如图2所示)，所以对数函数ylogax的图象在x轴下方，从左到右对应的底数由大到小依次递减 图1 图2题型一 对数函数的图象及变换【例1】作出函数y|log2(x1)|2的图象解：作复合函数的图象问题，可先考虑它的基本函数的图象，然后作适当的变换完成先作ylog2x的图象ylog2(x1)y|log2(x1)|y|log2(x1)|2.如图所示反思：利用函数图象的三大基本变换平移变换、对称变换、伸缩变换是作复合函数图象的基本途径本题使用了平移和对称两种方法，在平移中要注意“上、下”和“左、右”与x，y的关系；对称变换要注意与x轴和y轴的关系题型二 对数函数的性质【例2】已知函数f(x)lg |x|.(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)画出函数f(x)的图象的草图；(3)求函数f(x)的单调递减区间分析：(1)确定函数的定义域，判断f(x)和f(x)的关系；(2)函数f(x)的图象关于y轴对称，利用变换作图画出草图；(3)由图象观察出单调递增区间，再用定义证明解：(1)要使函数有意义，x的取值需满足|x|0，解得x0，即函数的定义域是(，0)(0，)，f(x)lg |x|lg |x|f(x)，所以函数f(x)是偶函数(2)由于函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，将函数ylg x的图象对称到y轴的左侧与函数ylg x的图象合起来得函数f(x)的图象，如下图所示(3)方法一：由图得函数f(x)的单调递减区间是(，0)证明：设x1，x2(，0)，且x1x2，则f(x1)f(x2)lg |x1|lg |x2|lglg ，x1，x2(，0)，且x1x2，|x1|x2|0.1.lg0.f(x1)f(x2)函数f(x)在(，0)上是减函数，即函数的单调递减区间是(，0)方法二：函数的定义域是(，0)(0，)设ylg u，u|x|.当函数f(x)是减函数时，由于函数ylg u是增函数，则函数u|x|是减函数又函数u|x|的单调递减区间是(，0)，函数f(x)lg|x|的单调递减区间是(，0)反思：根据定义来判断函数的奇偶性和单调性，是解答题的基本方法【例3】已知函数f(x)lg(x)(1)判断函数的奇偶性；(2)判断函数的单调性分析：利用函数的奇偶性和单调性的定义进行判断解：(1)函数的定义域为R，关于原点对称f(x)lg(x)lg(x)lglg(x)1lg(x)f(x)，即f(x)f(x)所以函数f(x)lg(x)是奇函数(2)函数的定义域为R，任取x1，x2R，且x1x2，则f(x1)f(x2)lg，下面分段讨论：当x1x20时，则x1x20，xx，所以x1x2，即1，所以f(x1)f(x2)0，此时函数在R上为减函数当0x1x2时，则x2x1，又f(x1)f(x2)lglg0，所以此时函数在R上为减函数当x10x2，且f(0)0时，由可知f(x1)0f(x2)所以函数f(x)lg(x)是定义域R上的减函数反思：研究函数奇偶性和单调性，都首先必须考虑函数的定义域1函数yf(x)的图象如下图所示，则函数的图象大致是_解析：从已知函数的图象可得所求函数过点(1,0)，且当x(0,1)时，函数为增函数，当x(1,2)时，函数为减函数答案：2函数yln的大致图象为_解析：因为定义域为(，1)(1，)，所以错误又当x(，1)时，函数为增函数，当x(1，)时，函数为减函数，所以错误答案：3已知函数yloga(xb)的图象如图所示，则a_，b_.解析：从图象可知解得答案：34求证：函数在其定义域上是单调减函数证明：由2x10得定义域为x，任取x1，x2，且x1x2，此时.因02x112x21，所以01.所以y1y20，即y1y2.所以原函数在定义域上单调递减5若函数f(x)在R上为增函数，求a的取值范围解：由条件得解得1a3，即a的取值范围是(1,3)5