31回归分析的基本思想及其初步应用教材分析1教材的地位和作用高中新课程中增加了有关统计学初步的内容，先后出现在必修3和选修12(文科)、选修23(理科)中数学3(必修)中的“统计”一章，给出了运用统计的方法解决问题的思路“线性回归分析”是其介绍的一种分析、整理数据的方法在这一部分中，学习了如何画散点图、利用最小二乘法的思想、利用计算器求回归直线方程、利用回归直线方程进行预报等内容然而在大量的实际问题中，两个变量不一定都呈线性相关关系，它们可能呈指数关系或对数关系等非线性关系，本节就是在学习了如何建立线性回归模型的基础上，探索如何建立非线性关系的回归模型通过本节的学习，使学生了解回归分析的必要性和回归分析的基本思想，明确回归分析的基本方法和基本步骤，学会以科学的态度评价两个变量的相互关系，培养学生运用所学内容解决实际问题的能力2课时划分回归分析的基本思想及其初步应用的教学分四个课时完成第一课时：介绍线性回归模型的数学表达式，解释随机误差项产生的原因，使学生能正确理解回归方程的预报结果；第二课时：从相关系数、相关指数和残差分析角度探讨回归模型的拟合效果，以及建立回归模型的基本步骤；第三课时：介绍两个变量非线性相关关系；第四课时：回归分析的应用第一课时教学目标知识与技能通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用过程与方法让学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，体会统计方法的特点，认识统计方法的应用；通过使用转化后的数据，利用计算器求相关指数，使学生体会使用计算器处理数据的方法情感、态度与价值观从实际问题中发现已有知识的不足，激发好奇心、求知欲；通过寻求有效的数据处理方法，开阔学生的思路，培养学生的探索精神和转化能力；通过案例的分析，使学生了解回归分析在生活实际中的应用，增强数学“取之生活，用于生活”的意识，提高学习兴趣重点难点教学重点：理解回归分析的基本思想，掌握求回归直线方程的步骤以及对随机误差e的认识教学难点：掌握利用回归分析的基本思想处理实际问题的方法，理解随机误差的来源和对预报变量的影响“名师出高徒”这句谚语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？活动设计：学生独立思考回答问题学情预测：学生可能会说“有名气的老师不一定能教出厉害的学生”教师提问：为什么？学情预测：两者之间有一定的关系，但不是必然关系，即名师也不一定出高徒，二者之间是相关关系设计意图：复习两个变量之间的关系，为线性分析做好铺垫提出问题：我们知道函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系上面所提的“名师”与“高徒”之间的关系就是相关关系那么，在一般情况下，人的身高与体重之间是什么关系？试设计一个方案，来分析某大学女大学生的身高与体重之间的关系，并以此为依据来预报身高172 cm的女大学生的体重学生活动：学生独立思考，小组合作交流讨论活动结果：可以采用统计的方法解决这一问题，先采用随机抽样的方法，从在校女大学生中抽取样本，记录其身高和体重，然后通过所得数据建立线性回归模型，并根据所得模型来预报身高为172 cm女生的体重其步骤：收集数据作散点图求回归直线方程利用方程进行预报设计目的：合理设计问题，使学生进一步掌握用统计方法解决问题的基本步骤：提出问题、收集数据、分析整理数据、进行预测或决策若从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172 cm的女大学生的体重学生活动：分组合作探究，查阅课本中的计算公式活动结果：1.画散点图选取身高为自变量x，体重为因变量y，画出散点图形象展示两个变量之间的关系，并判断二者是否具有线性关系由散点图可以发现，样本点呈条状分布，身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归直线近似刻画它们之间的关系2建立回归方程由计算器可得 85.712， 0.849.于是得到回归方程为 0.849x85.712.3预报和决策当x172时， 0.84917285.71260.316(kg)即一名身高为172 cm的女大学生的体重预报值为60.316 kg.设计目的：进一步熟悉线性回归分析的具体步骤提高学生的数据处理能力，并让学生在应用中进一步掌握公式的应用提出问题：散点图可以直观地判断两个变量是否具有线性相关性，那么还有什么方法可以描述线性相关性的强弱？学生活动：独立思考或相互讨论活动结果：还可以通过必修3中的相关系数r来衡量两个变量之间的线性相关关系的强弱提出问题：如何根据相关系数r描述线性相关性的强弱？相关系数的计算公式是什么？学生活动：独立思考或相互讨论，查阅课本活动结果：其具体计算公式是r当r0时，表示两个变量正相关；当r0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系提出问题：在本例中，身高和体重的线性相关系数是多少？我们建立的线性回归方程是否有实际意义？学生活动：独立计算，求解相关系数活动结果：利用计算器可求得r0.798，这表明体重与身高有很强的线性相关关系，从而表明我们建立的回归模型是有意义的设计目的：复习判断变量线性相关的方法，进一步熟悉线性相关系数的计算公式提出问题：身高为172 cm的女大学生的体重一定是60.316 kg吗？学生活动：独立思考也可相互讨论学情预测：不一定，但一般可以认为她的体重在60.316 kg左右提出问题：为什么根据得到的一次函数求出的结论不一定是实际值？产生误差的原因是什么？学生活动：独立思考也可相互讨论，教师加以适当的引导提示活动结果：观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重y和身高x之间的关系并不能用一次函数ybxa来严格刻画(因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系)在数据表中身高为165 cm的3名女大学生的体重分别为48 kg、57 kg和61 kg，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165 cm的3名女大学生的体重应相同这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，如生理因素、饮食锻炼、测量工具等其他因素为了更准确地刻画身高和体重的关系，可用下列线性回归模型来表示：ybxae.我们把自变量x称作解释变量，因变量y称作预报变量，e称为随机误差提出问题：函数模型ybxa与线性回归模型ybxae有什么关系？学生活动：独立思考也可相互讨论，教师加以适当的引导提示活动结果：线性回归模型：ybxae当理想化时，即所有人的遗传因素都一样、所有人的生活方式都一样、所有测量都没有误差等等，此时e0，线性回归模型就变成函数模型了因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式设计目的：突破本节课的难点，充分认识随机误差e的来源和对预报变量的影响例1假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下统计数据：x23456y2.23.85.56.57.0若由此资料可知y对x呈线性相关关系，试求：(1)回归直线方程；(2)估计使用年限为10年时，维修费用为多少？分析：正确理解计算 ， 的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键解：(1)由上表中的数据列成下表i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411.422.032.542.0x49162536故4，5，90，iyi112.3，于是 1.23， 51.2340.08，回归直线方程为 x 1.23x0.08.(2)当x10时， 1.23100.0812.38(万元)，估计当使用10年时的维修费用为12.38万元点评：由于本节课题目计算量大，公式较多，所以在求解时易出现公式乱用，数据出错等问题，对这一点，同学们在解题时尤为需要注意【变练演编】 例210名同学在高一和高二的数学成绩如下表：x74717268767367706574y76757170767965776272其中x为高一数学成绩，y为高二数学成绩(1)y与x是否具有线性相关关系；(2)如果y与x具有线性相关关系，求线性回归方程思路分析：先根据数据计算相关系数，然后根据相关系数的大小，判断两个变量是否线性相关解：(1)由已知表格中的数据，利用计算器进行计算得71，72.3，iyi51 467，50 520，52 541，r0.785 30.75，故两个变量有很强的线性相关关系(2)y与x具有线性相关关系，可设线性回归方程为 x，则 1.22， 72.31.227114.32，所以y关于x的线性回归方程为 1.22x14.32.点评：本题通过计算相关系数，将两个变量相关性的判断转化为数据大小的比较变式：在确定上题中y与x的线性相关关系中，是否还有别的方法？若有，请加以说明活动设计：学生分组讨论，回顾课本解答问题活动成果：还可以通过画散点图的方法来判断两个变量是否具有相关性如选取x的值作为自变量，y的值作为因变量，画出散点图由图可知两个变量有线性相关性，求其回归直线方程是有实际意义的设计意图：进一步熟悉判断变量线性相关的各种方法【达标检测】1对于回归分析，下列说法错误的是()A在回归分析中，两个变量的关系若是非确定关系，那么其中一个变量不能由另一个变量唯一确定B回归系数可以是正的，也可以是负的C回归分析中，如果r21或r1，说明变量x与变量y之间完全线性相关D相关样本系数r(1,1)2下列各组变量之间具有线性相关关系的是()A出租车费与行使的里程 B学习成绩与学生身高C身高与体重 D铁的体积与质量3若劳动生产率x(千元)与月工资y(元)之间的回归直线方程为 5080x，则下列判断正确的是()A劳动生产率为1 000元时，月工资为130元B劳动生产率提高1 000元时，月工资平均提高80元C劳动生产率提高1 000元时，月工资平均提高130元D月工资为210元时，劳动生产率为2 000元答案：1.D2.C3.B(给学生12分钟的时间默写本节的主要基础知识、方法、例题、题目类型、解题规律等；然后用精炼的、准确的语言概括本节的知识脉络、思想方法、解题规律)1知识收获：进一步学习回归分析的基本思想以及求回归直线方程的步骤，正确认识随机误差e的产生原因、了解线性回归模型与函数的不同