3.1 回归分析的基本思想及其初步应用第四课时教学目标知识与技能通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想和求回归方程的步骤过程与方法通过对回归模型的选择，使学生进一步体会建立回归模型的步骤，体会各个步骤的功能和重要性情感、态度与价值观通过案例的分析，培养学生的探索精神，提高对数据的处理能力，并且使学生了解回归分析在生活实际中的应用，增强数学的应用意识，提高学习兴趣重点难点教学重点：掌握在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法，总结求回归方程的步骤，会用合适的方法进行模型分析教学难点：如何根据散点图选择合适的回归模型并对其拟合效果进行检验提出问题：某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下：身高x(cm)60708090100110120130140150160170体重y(kg)6.137.909.9912.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)试建立y与x之间的回归方程；(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于平均值的0.8为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为82 kg的在校男生的体重是否正常？学生活动：合作交流，探讨方案并计算检验学情预测：方案一：计算相关系数r0.960.75，故y与x之间具有很强的线性相关性设y与x之间的回归方程为 x ，则 0.431 9， 25.679，故回归方程为： 0.431 9x25.679.当x175时， 55.15.因为55.151.266.1882，故这名男生偏胖方案二：画出散点图如图所示：样本点分布在某条指数函数曲线yc1ec2x的周围，于是令zlny，得x60708090100110120130140150160170z1.812.072.302.502.712.863.043.293.443.663.864.01作出散点图：由表中数据可得z与x之间的回归直线方程为 0.6930.020x，则有 e0.6930.020x.当x175时， 66.22，由于66.221.279.4640.75，显示具有很强的线性相关性，故采用线性回归模型不会出错提出问题：怎样来评判这两种解法呢？学生活动：分组合作，讨论解决的方法学情预测：可以求相关指数、计算残差平方和或画残差图来分析两种模型的拟合效果对于方案1：残差平方和约为：190.424，相关指数：R0.93，残差图：对于方案2：残差平方和约为：33.8，相关指数：R0.988，残差图：通过图形可以发现，方案二在数据拟合效果上更好，故应该采用方案二的结论设计目的：通过对问题的探讨，让学生回顾学过的比较回归模型拟合效果的方法，体会在进行回归分析时方程类型合理选取的重要性提出问题：通过对上面问题的分析，同学们觉得进行线性回归分析时，确定完变量后是计算线性相关系数还是画散点图？学生活动：学生分组讨论学情预测：应该是先画散点图，根据散点图判断出回归方程的类型进行求解，当根据图形无法确定哪种方程形式更合理时，可多设出几个方程分别求出，再根据残差分析和计算相关指数来比较回归方程的拟合效果，选择拟合效果最好的方程进行预测教师：残差分析的作用不光在于比较回归模型的拟合效果，它还有一个重要的作用，就是通过残差样本点的分布，还可以发现样本点收集过程中的错误，有利于纠正采集中的错误提出问题：同学们自己能否把回归分析的步骤补充完整学生活动：分组讨论，合作交流学情预测：(1)确定变量；(2)画散点图；(3)分析回归模型类型；(4)求回归方程；(5)分析拟合效果设计目的：让学生整理回归分析的基本步骤，进一步明确每一个步骤的作用和重要性例1通常一个人的身高越高，他的脚就越大，为了调查这一问题，对9名高三男生的身高和脚长进行测量，得到如下数据：(单位： cm)身高x168170172174176178180180181脚长y24.525.52626.52727.52727.527.5(1)根据上述数据作出散点图，能发现两者有何近似关系？根据判断求出回归方程(2)如果一名学生的身高为185 cm，估计他的脚长思路分析：先画出散点图，根据散点图确定回归模型的类型，然后求y与x之间的回归方程并进行预测解：(1)根据上表中的数据，作出散点图由图可以看出，身高与脚长之间的总体趋势成一条直线，即它们线性相关，因此可用线性回归模型来拟合，设线性回归模型为 x ，由图中数据可求得回归方程为： 0.163x2.037.(2)当x185时， 28.1，即当一名学生的身高185 cm时，估计他的脚长为28.1 cm.【变练演编】例2下表是1957年美国旧轿车价格的调查资料，以x表示轿车的使用年数，y表示相应的年均价格，求y关于x的方程.使用年数x12345678910平均价格y2 6511 9431 4941 087765538484290226204思路分析：根据散点图，判断回归方程的类型，当不能确定时，就多选择几个进行比较选择解：画出散点图：根据样本点的分布规律，若选择线性回归模型，可设方程为 x ，由图中数据可求得回归方程为： 255.14x2 371.5，计算相关指数R0.876 3.若选择指数型回归方程模型，可设为 c1ec2x，于是令zlny，变换后的数据：x12345678910y7.8837.5727.3096.9916.6406.2886.1825.6705.4215.318画出散点图：由图可知各点基本位于一条直线附近，由上表中数据可得线性回归模型为 8.1650.298x，因此旧轿车的平均价格对使用年数的非线性回归模型为： e8.1650.298x计算相关指数R0.992 4，因为RR，故非线性回归模型 e8.1650.298x的拟合效果更好所以y关于x的方程应为 e8.1650.298x.设计意图：进一步体会回归分析思想的应用，熟悉求回归方程的基本步骤【达标检测】1某化工厂为预测某产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系现取了8对观测值，计算得：i52，i228，478，iyi1 849，则y与x的回归直线方程是()A. 11.472.62x B. 11.472.62xC. 2.62x11.47x D. 11.472.62x2相关的一组数据如下表所示，它们的线性回归方程为 0x1.5，则当解释变量x1时，预测变量y等于()x12345y1.31.71.71.31.5A.1.5B1.3C1.4D1.553部分国家13岁学生数学测验平均分数为：中国韩国瑞士俄罗斯法国以色列加拿大英国美国约旦授课天数251222207210174215188192180191分数80737170646362615546对于授课天数与分数是否存在回归直线，下列说法正确的是()A一定存在 B可能存在也可能不存在C一定不存在 D以上都不正确答案：1.A2.A3A解析：作出散点图进行直观分析，也可以求出相关系数进行判断，答案选A.师生回顾课堂内容，由学生进行小结：1建立回归模型的基本步骤：2如何选择合适的回归模型：3如何将非线性回归模型转化为线性回归模型【基础练习】1散点图在回归分析中的作用是()A查找个体个数 B比较个体数据大小关系C探究个体分类 D粗略判断变量是否相关2设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵截距是a，那么必有()Ab与r的符号相同 Ba与r的符号相同Cb与r的符号相反 Da与r的符号相反3一组观察值(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)之间满足yiabxiei(i1,2，n)，若ei恒为0，则R2为_答案或提示：1.D2.A31解析：ei0，0，R21，其实此时随机误差e为0，即没有误差，y与x是确定的函数关系所以答案为1.【拓展练习】4在钢线碳含量对于电阻的效应中，得到如下表所示的数据：碳含量(x/%)0.100.300.400.550.700.800.9520 时电阻(y/)1518192122.623.626求y对x的线性回归方程，并检验回归方程的显著性解：0.543，20.74，x2.595，y3 094.72，xiyi85.45. 12.46， 20.7412.460.54313.97，所求回归直线方程为 13.9712.46x.利用相关系数检验是否显著：xiyi7 6.62，x720.531，y7283.69，r0.993，由于r0.75，故钢线碳含量对于电阻的效应线性相关关系显著本节课以问题创设情境引发矛盾，并引导学生分析矛盾产生的原因，以问题为主线，展开对建立回归方程各个步骤的分析，引导学生认识各个步骤的重要性，结合实际问题，以引起学生的重视在问题的解决过程中，注意引导学生合作交流，以培养学生的团队合作精神，并让学生利用计算器进行分析验证，提高学生对数据的处理能力由于本节课是建立在前三节课的基础上，故本节课定位于一节习题课，重点是对前三节内容的梳理和总结，帮助学生形成一个清晰的知识结构，强化回归思想的应用意识(此栏目可参考：http：/www.zhyh，org/？actioncopyri