一元微积分的几何综合应用与重积分计算一、考试内容（一）一元积分学的几何应用1、平面图形的面积2、旋转体体积注：利用平面图形的面积与旋转体体积公式时，有时可借助参数方程或极坐标表示3、曲线的弧长4、旋转体的侧面积（二）重积分计算法则1、记忆以下二重积分奇偶对称性性质：（1）当积分域对称于轴时，令是关于轴某一侧的部分，则有上述性质可类似地应用于关于轴的对称性与函数关于的奇偶性（3）当积分域关于原点对称时，若，则有（4）若将互换，积分域不变，（关于对称）则（轮换性）2、记忆以下三重积分奇偶对称性性质：（1）当积分域对称于面时，令是关于面某一侧的部分，则有上述性质可类似地应用于关于其它坐标面的对称性与函数的奇偶性（2）若将互换，积分域不变， 则（轮换性）3、记忆重积分的算法对， 对，对，特别地，对，为在面的投影则，此为先二后一法对绕轴（）的旋转体区域，为在处的横截面区域，则，此为先一后二法特别地，截面面积为已知的立体体积对由球面与锥面所围成的区域，可利用球坐标法计算：二、一元微积分的几何综合应用典型例题例1、是奇函数，除外处处连续，是其第一类间断点，则是（B）（A）连续奇函数（B）连续偶函数（C）在x=0间断的奇函数（D）在x=0间断的偶函数例2、如图， 在上有连续的导数，则定积分() （A）曲边梯形ABOD面积 （B）梯形ABOD面积（C）曲边三角形ACD面积 （D）三角形ACD面积例3、设D是由曲线，直线及轴所转成的平面图形，分别是D绕轴和轴旋转一周所形成的立体的体积，若，则提示：，例4、求曲线的全长.解：，而 .例5、设，求其所示曲线与直线及轴，轴围成的区域绕轴旋转一周生成的旋转体体积解：例6、求曲线和所围图形的面积及其绕极轴旋转一周的.解：.例7、某曲线以极坐标可表示为，则其在处的切线的直角坐标方程为.则其斜渐近线的直角坐标方程为.（注意仅时，）例8、已知抛物线上任一点处的曲率半径为， 是该抛物线上介于点与之间的弧长，求解：，故有原式例9、求曲线与轴所围成图形的面积.提示：.例10、设是内过点的光滑曲线，当时，曲线上任一点处的法线都过原点，当时，满足。求的表达式.提示：当时，即，得，有当时，得的通解为由在处连续且可导，有故.例11、设是第一象限内连接点的一段连续曲线，为该曲线上任一点，点为在轴上的投影，为坐标原点. 若梯形的面积与曲边的面积之和为，求的表达式.提示 ： ，当时，得，则 因，由的连续性知.例12、设在 0, 1上连续,在 (0, 1)内大于零,且 (为常数) ,又曲线与所围成的图形S的面积值为2,求,并问为何值时,图形S绕轴旋转一周秘得的旋转体的体积最小.提示： ，则，由2，有因此，体积为,令 ,得 .又 ,故知当时,体积最小.例13、曲线与直线及围成一曲边梯形. 该图形绕轴旋转一周得一旋转体, 其体积为, 侧面积为, 在处的底面积为.()求的值;()计算极限.提示： () () .例14、设是区间上具有连续导数的单调增加函数，且.对任意的，直线，曲线以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数的表达式.提示：由 得由题意知,则有，即解得,由，得，从而.三、重积分计算典型例题例1、计算解： 原式 例2、设区域由曲线围成，则提示：对称奇偶性与二重积分的几何意义例3、设是的第象限的部分，记，则（B）（A） （B） （C） （D）提示：由轮换性知由不等式性质知例4、求二重积分，其中提示：由得，原式注;令,则原式例5、设，计算解：记，： 则例6、设，则 提示：可化为直角坐标形式（注：，）例7、计算二重积分，其中D为由曲线与所围区域yO 1 x【解】：如图，例8、 设为单调递减的可微函数，且，为其反函数，若曲线与及轴所围区域绕轴旋转一周的体积为，求解：由题意知，则原式例9、连续函数的定义域为，且，其中,求.提示：由二重积分奇偶对称性性质知， 有，得.例10、求.例11、已知函数具有二阶连续偏导数，且，其中，计算解： 例12、设f (r)在0，1上连续，则证明：，设，则注意到：，于是由夹逼定理可知要证结论成立注：是错误的例13、，其中由锥面与平面（）围成的区域.【解1】原式 .【解2】原式.【解3】原式 .例14、，其中是由球面所围成的闭区域.【解1】因区域具有轮换性，则故原式 .【解2】原式.【解3】原式.例15、计算，由平面以及曲面围成，其中是由曲线绕轴旋转所生成的旋转面.解： 原式.例16、计算，其中解： 例17、求上的连续函数，使提示：令，则四、课后练习（一）一元微积分的几何综合应用1、设在区间上连续，则曲线夹在之间的平面图形绕直线旋转而成的旋转体体积为（） 2、设连续，曲线与轴围成三块面积，其中在轴的下方，在轴的上方，若，则（） 3、与轴、轴围成图形的面积为4、求证：由平面图形，绕轴旋转形成的旋转体体积，并利用该题结论，计算与轴所围区域绕轴旋转一周而成的旋转体体积（）5、设曲线的极坐标方程为，则该曲线上相应于从0边到的一段弧与极轴所围成的图形面积为6、求摆线一拱的弧长7、求心形线的全长，其中 （）8、设平面上有及 ，若表示位于直线左下方部分的面积，试求 .（ ）9、点是曲线的一个拐点，、分别是曲线在与处的切线，其交点为，设函数具有三阶连续导数，求（）. 2 0 2 3 4 x10、已知曲线L的方程（I）讨论L的凹凸性（凸）；（II）过点引L的切线，求切点，并写出切线的方程（）；（III）求此切线与L（对应部分）及x轴所围的平面图形的面积（）11、设，求的极值、单调区间和凹凸区间【为极大值；为极小值的单调增区间是；单调减区间是.为凸区间；为凹区间】12、设D是位于曲线下方、x轴上方的无界区域，(I) 求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a) （）;(II) 当a为何值时，V(a)最小? 并求此最小值（）13、设在上连续，若由， 与轴所围图形绕轴旋转一周所成的旋转体体积，则14、设是正值连续函数，且对任何，曲线在上的一段弧长总是等于由过轴上点且垂直于轴的直线及轴，轴与这段弧围成的曲边梯形面积，求这条曲线的方程（）15、设位于第一象限的曲线过点，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分.(1) 求曲线的方程（）；(2) 已知曲线在上的弧长为，试用表示的弧长（）16、设非负函数 (x0)，满足微分方程，当曲线过原点时，其与直线x=1及y=0围成平面区域的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积（）17、请设计一条经过原点且介于曲线与轴之间的连续曲线使其与曲线，所围面积等于由曲线，所围的面积，其中为曲线上的任一点（）（二）重积分计算1、改变次序.（）2、计算.3、设为由曲线与所围的区域，则4、若，则5、设为上的连续奇函数，则6、若 ，则 7、设，则8、设为整个平面区域，则9、10、设可导， 为其反函数，证明：11、设满足,则.12、记曲线绕轴旋转一周生成的曲面与所围的立体区域为，求13、设：，则 14、设：，则15、设，计算16、由 面上的区域 绕 轴旋转一周而成的空间区域， 则= 在能力与知识结构方面，要求学生应具有扎实的专业和日语语言基础，熟练掌握日语听、说、读、写、译的基本技能；了解日本社会及日本文化等方面的基本知识，熟悉日本国情，具有一定的日本人文知识及运用这些知识与日本人进行交流的能力。11