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专题检测(九)导数的简单应用一、选择题1函数f(x)x2ln x的最小值为()A. B1C0 D不存在解析:选Af(x)x,且x0.令f(x)0,得x1;令f(x)0,得0x1.f(x)在x1处取得极小值也是最小值,且f(1)ln 1.2函数f(x)x的极值情况是()A当x1时,取极小值2,但无极大值B当x1时,取极大值2,但无极小值C当x1时,取极小值2;当x1时,取极大值2D当x1时,取极大值2;当x1时,取极小值2解析:选Df(x)1,令f(x)0,得x1,函数f(x)在区间(,1)和(1,)上单调递增,在(1,0)和(0,1)上单调递减,所以当x1时,取极大值2,当x1时,取极小值2.3若直线yax是曲线y2ln x1的一条切线,则实数a的值为()Ae B2eCe D2e解析:选B依题意,设直线yax与曲线y2ln x1的切点的横坐标为x0,则有y|,于是有解得4已知函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数,函数g(x)x2aln x在(1,2)上为增函数,则a的值为()A1B2C0 D解析:选B函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数,1,得a2.又g(x)2x,依题意g(x)0在x(1,2)上恒成立,得2x2a在x(1,2)上恒成立,有a2,a2.5若函数f(x)x(bR)的导函数在区间(1,2)上有零点,则f(x)在下列区间上单调递增的是()A(2,0) B(0,1)C(1,) D(,2)解析:选D由题意知,f(x)1,函数f(x)x(bR)的导函数在区间(1,2)上有零点,令当10,得bx2,又x(1,2),b(1,4)令f(x)0,解得x或x,即f(x)的单调递增区间为(,),(,)b(1,4),(,2)符合题意6已知f(x)ln x,g(x)x22ax4,若对任意的x1(0,2,存在x21,2,使得f(x1)g(x2)成立,则a的取值范围是()A. B.C. D.解析:选A因为f(x),易知,当x(0,1)时,f(x)0,所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,2上单调递增,故f(x)minf(1).对于二次函数g(x)x22ax4,易知该函数开口向下,所以其在区间1,2上的最小值在端点处取得,即g(x)minming(1),g(2)要使对任意的x1(0,2,存在x21,2,使得f(x1)g(x2)成立,只需f(x1)ming(x2)min,即g(1)且g(2),所以12a4且44a4,解得a.二、填空题7曲线f(x)xln x在点M(1,f(1)处的切线方程为_解析:由题意,得f(x)ln x1,所以f(1)ln 111,即切线的斜率为1.因为f(1)0,所以所求切线方程为y0x1,即xy10.答案:xy108已知函数f(x)x22axln x,若f(x)在区间上是增函数,则实数a的取值范围为_解析:由题意知f(x)x2a0在区间上恒成立,即2ax在区间上恒成立又yx在区间上单调递减,max,2a,即a.答案:9已知函数f(x)ex,g(x)ln的图象分别与直线ym交于A,B两点,则|AB|的最小值为_解析:显然m0,由exm得xln m,由ln m得x2e,则|AB|2eln m令h(m)2eln m,由h(m)2e0,求得m.当0m时,h(m)0,函数h(m)在上单调递减;当m时,h(m)0,函数h(m)在上单调递增所以h(m)minh2ln 2,因此|AB|的最小值为2ln 2.答案:2ln 2三、解答题10已知函数f(x)ax,x1.(1)若f(x)在(1,)上单调递减,求实数a的取值范围;(2)若a2,求函数f(x)的极小值解:(1)f(x)a,由题意可得f(x)0在(1,)上恒成立,a2.x(1,),ln x(0,),当0时,函数t2的最小值为,a,即实数a的取值范围为.(2)当a2时,f(x)2x(x1),f(x),令f(x)0得2ln2xln x10,解得ln x或ln x1(舍去),即xe.当1xe时,f(x)e时,f(x)0,f(x)的极小值为f(e)2e4e.11(2017全国卷)已知函数f(x)ln xax2(2a1)x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a0时,证明f(x)2.解:(1) f(x)的定义域为(0,),f(x)2ax2a1.若a0,则当x(0,)时,f(x)0,故f(x)在(0,)上单调递增若a0,则当x时,f(x)0;当x时,f(x)0.故f(x)在上单调递增,在上单调递减(2)证明:由(1)知,当a0时,f(x)在x处取得最大值,最大值为fln1.所以f(x)2等价于ln12,即ln10.设g(x)ln xx1,则g(x)1.当x(0,1)时,g(x)0;当x(1,)时,g(x)0.所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减故当x1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)0.所以当x0时,g(x)0.从而当a0时,ln10,即f(x)2.12(2017福州质检)已知函数f(x)aln xx2ax(aR)(1)若x3是f(x)的极值点,求f(x)的单调区间;(2)求g(x)f(x)2x在区间1,e上的最小值h(a)解:(1)f(x)的定义域为(0,),f(x)2xa,因为x3是f(x)的极值点,所以f(3)0,解得a9,所以f(x),所以当0x或x3时,f(x)0;当x3时,f(x)0.所以f(x)的单调递增区间为,(3,),单调递减区间为.(2)g(x)aln xx2ax2x,则g(x)2.令g(x)0,得x或x1.当1,即a2时,g(x)在1,e上为增函数,h(a)g(1)a1;当1e,即2a2e时,g(x)在上为减函数,在上为增函数,h(a)galna2a;当e,即a2e时,g(x)在1,e上为减函数,h(a)g(e)(1e)ae22e.综上,h(a)6
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