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课后限时集训(十三)导数的概念及运算(建议用时:60分钟)A组基础达标一、选择题1函数yln(2x21)的导数是()A.B.C. D.By4x,故选B.2f(x)ax33x22,若f(1)4,则a的值等于()A. B.C. D.D因为f(x)3ax26x,所以f(1)3a64,解得a.故选D.3(2018广州一模)已知直线ykx2与曲线yxln x相切,则实数k的值为()Aln 2 B1C1ln 2 D1ln 2D由yxln x知yln x1,设切点为(x0,x0ln x0),则切线方程为yx0ln x0(ln x01)(xx0),因为切线ykx2过定点(0,2),所以2x0ln x0(ln x01)(0x0),解得x02,故k1ln 2,选D.4设函数f(x)x3ax2,若曲线yf(x)在点P(x0,f(x0)处的切线方程为xy0,则点P的坐标为()A(0,0) B(1,1)C(1,1) D(1,1)或(1,1)D由题意知,f(x)3x22ax,所以曲线yf(x)在点P(x0,f(x0)处的切线斜率为f(x0)3x2ax0,又切线方程为xy0,所以x00,且,解得a2,x0.所以当时,点P的坐标为(1,1);当时,点P的坐标为(1,1),故选D.5已知曲线y,则曲线的切线斜率取得最大值时的切线方程为()Ax4y20Bx4y20C4x2y10D4x2y10Ay,因为ex0,所以ex22(当且仅当ex,即x0时取等号),则ex24,故y(当x0时取等号)当x0时,曲线的切线斜率取得最大值,此时切点的坐标为,切线的方程为y(x0),即x4y20.故选A.二、填空题6(2019漳州模拟)曲线y2sin x在x处的切线的倾斜角大小为_y2cos x,y|x2cos 1,设切线的倾斜角为,则tan 1,又0,.7若曲线f(x)ax3ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是_(,0)由题意,可知f(x)3ax2,又存在垂直于y轴的切线,所以3ax20,即a(x0),故a(,0)8(2019大连调研)若函数f(x)x2axln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是_2,)f(x)x2axln x,f(x)xa.f(x)存在垂直于y轴的切线,f(x)存在零点,xa0有解,ax2(x0)三、解答题9已知函数f(x)x34x25x4.(1)求曲线f(x)在点(2,f(2)处的切线方程;(2)求经过点A(2,2)的曲线f(x)的切线方程解(1)f(x)3x28x5,f(2)1,又f(2)2,曲线在点(2,f(2)处的切线方程为y2x2,即xy40.(2)设曲线与经过点A(2,2)的切线相切于点P(x0,x4x5x04),f(x0)3x8x05,切线方程为y(2)(3x8x05)(x2),又切线过点P(x0,x4x5x04),x4x5x02(3x8x05)(x02),整理得(x02)2(x01)0,解得x02或1,经过点A(2,2)的曲线f(x)的切线方程为xy40或y20.10设函数f(x)ax,曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式;(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值,并求此定值解(1)方程7x4y120可化为yx3,当x2时,y.又因为f(x)a,所以解得所以f(x)x.(2)证明:设P(x0,y0)为曲线yf(x)上任一点,由y1知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为yy0(xx0),即y(xx0)令x0,得y,所以切线与直线x0的交点坐标为.令yx,得yx2x0,所以切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以曲线yf(x)在点P(x0,y0)处的切线与直线x0,yx所围成的三角形的面积S|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0,yx所围成的三角形面积为定值,且此定值为6.B组能力提升1曲线ye在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()A.e2 B4e2C2e2 De2D易知曲线ye在点(4,e2)处的切线斜率存在,设其为k.ye,kee2,切线方程为ye2e2(x4),令x0,得ye2,令y0,得x2,所求面积为S2|e2|e2.2已知函数f(x)x2的图象在点(x0,x)处的切线为l,若l也与函数yln x,x(0,1)的图象相切,则x0必满足()A0x0 B.x01C.x0 D.x0D由题意,得f(x)2x,所以f(x0)2x0,f(x0)x,所以切线l的方程为y2x0(xx0)x2x0xx.因为l也与函数yln x(0x1)的图象相切,设切点坐标为(x1,ln x1),易知y,则切线l的方程为yxln x11,则有又0x11,所以x01,所以1ln 2x0x,x0(1,)令g(x)x2ln 2x1,x1,),则g(x)2x0,所以g(x)在1,)上单调递增,又g(1)ln 20,g()1ln 20,g()2ln 20,所以存在x0(,),使得g(x0)0,故x0,选D.3(2017天津高考)已知aR,设函数f(x)axln x的图象在点(1,f(1)处的切线为l,则l在y轴上的截距为_1f(x)a,f(1)a1.又f(1)a,切线l的斜率为a1,且过点(1,a),切线l的方程为ya(a1)(x1)令x0,得y1,故l在y轴上的截距为1.4已知函数f(x)x32x23x(xR)的图象为曲线C.(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围;(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围解(1)由题意得f(x)x24x3,则f(x)(x2)211,即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是1,)(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k,则由(2)中条件并结合(1)中结论可知,解得1k0或k1,故由1x24x30或x24x31,得x(,2(1,3)2,)
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