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课后限时集训(四十一)空间向量的运算及应用(建议用时:60分钟)A组基础达标一、选择题1在空间直角坐标系中,A(1,2,3),B(2,1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线AB与CD的位置关系是()A垂直B平行C异面 D相交但不垂直B由题意得,(3,3,3),(1,1,1),3,与共线,又与没有公共点,ABCD.2在空间直角坐标系中,A(1,1,2),B(1,2,3),C(1,3,0),D(x,y,z)(x,y,zR),若A,B,C,D四点共面,则()A2xyz1Bxyz0Cxyz4Dxyz0AA(1,1,2),B(1,2,3),C(1,3,0),D(x,y,z)(x,y,zR),(0,1,1),(2,2,2),(x1,y1,z2)A,B,C,D四点共面,存在实数,使得,即(x1,y1,z2)(0,1,1)(2,2,2),解得2xyz1,故选A.3如图所示,三棱锥OABC中,M,N分别是AB,OC的中点,设a,b,c,用a,b,c表示,则()A.(abc)B.(abc)C.(abc)D.(abc)B()()(abc)4在空间直角坐标系中,A,B,C三点的坐标分别为A(2,1,1),B(3,4,),C(2,7,1),若,则()A3 B1C3 D3C由题知,(1,3,1),(1,3,1),由,可得0,即19210,即29,3,故选C.5已知正四面体ABCD的棱长为1,且2,2,则()A. B.C DD因为2,2,所以EFBD,EFBD,即,则|cos .故选D.二、填空题6.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线ON,AM的位置关系是_垂直以A为原点,分别以,所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系(图略),设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),M,O,N,0,ON与AM垂直7已知平面内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面的一个法向量n(1,1,1),则不重合的两个平面与的位置关系是_设平面的法向量为m(x,y,z),由m0,得x0yz0yz,由m0,得xz0xz,取x1,m(1,1,1),mn,mn,.8如图所示,在平行四边形ABCD中,ABACCD1,ACD90,把ADC沿对角线AC折起,使AB与CD成60角,则BD的长为_2或AB与CD成60角,60或120.又ABACCD1,ACCD,ACAB,|,|2或.BD的长为2或.三、解答题9已知空间中三点A(2,0,2),B(1,1,2),C(3,0,4),设a,b.(1)若|c|3,且c,求向量c;(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值解(1)c,(3,0,4)(1,1,2)(2,1,2),cmm(2,1,2)(2m,m,2m),|c|3|m|3,m1.c(2,1,2)或(2,1,2)(2)a(1,1,0),b(1,0,2),ab(1,1,0)(1,0,2)1,又|a|,|b|,cosa,b,故向量a与向量b的夹角的余弦值为.10.如图所示,四棱锥PABCD的底面为正方形,侧棱PA底面ABCD,且PAAD2,E,F,H分别是线段PA,PD,AB的中点,求证:(1)PB平面EFH;(2)PD平面AHF.证明建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),H(1,0,0)(1)E,H分别是线段AP,AB的中点,PBEH.PB平面EFH,且EH平面EFH,PB平面EFH.(2)(0,2,2),(1,0,0),(0,1,1),0021(2)10,0120(2)00.PDAF,PDAH.又AFAHA,PD平面AHF.B组能力提升1若x,yR,有下列命题:若pxayb,则p与a,b共面;若p与a,b共面,则pxayb;若xy,则P,M,A,B共面;若点P,M,A,B共面,则xy.其中真命题的个数是()A1 B2C3 D4B正确;中若a,b共线,p与a不共线,则pxayb就不成立;正确;中若M,A,B共线,点P不在此直线上,则xy不正确2.(2019四川名校联考)如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1MAN,则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交B平行C垂直D不能确定B正方体棱长为a,A1MAN,().又是平面B1BCC1的法向量,且0,MN平面B1BCC1.故选B.3已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果(2,1,4),(4,2,0),(1,2,1)对于结论:APAB;APAD;是平面ABCD的法向量;.其中正确的是_0,0,ABAP,ADAP,则正确又与不平行,是平面ABCD的法向量,则正确(2,3,4),(1,2,1),与不平行,故错误4.如图所示,四棱锥SABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,点P为侧棱SD上的点(1)求证:ACSD;(2)若SD平面PAC,则侧棱SC上是否存在一点E,使得BE平面PAC,若存在,求SEEC的值;若不存在,试说明理由解(1)证明:连接BD,设AC交BD于点O,则ACBD.连接SO,由题意知SO平面ABCD.以O为坐标原点,所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图底面边长为a,则高SOa,于是S,D,B,C,则0.故OCSD.从而ACSD.(2)棱SC上存在一点E,使BE平面PAC.理由如下:由已知条件知是平面PAC的一个法向量,且,.设t,则t,而0t.即当SEEC21时,.而BE平面PAC,故BE平面PAC.
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