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选/考/部/分选修44 坐标系与参数方程第一节坐标系2019考纲考题考情1平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换:的作用下,点P(x,y)对应点P(x,y),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换。2极坐标的概念(1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,从O点引一条射线Ox,叫做极轴,选定一个单位长度和角及其正方向(通常取逆时针方向),这样就确定了一个平面极坐标系,简称为极坐标系。(2)极坐标:对于平面内任意一点M,用表示线段OM的长,表示以Ox为始边、OM为终边的角度,叫做点M的极径,叫做点M的极角,有序实数对(,)叫做点M的极坐标,记作M(,)。当点M在极点时,它的极径0,极角可以取任意值。(3)点与极坐标的关系:平面内一点的极坐标可以有无数对,当kZ时,(,),(,2k),(,(2k1)表示同一个点,而用平面直角坐标表示点时,每一个点的坐标是唯一的。如果规定0,02,或者,那么,除极点外,平面内的点和极坐标就一一对应了。3极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把平面直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,建立极坐标系,并在两种坐标系中取相同的单位长度,如图所示。(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(,)(0,0,2),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由tan确定角时,可根据点M所在的象限取最小正角。4常见曲线的极坐标方程1明辨两个坐标伸缩变换关系式点(x,y)在原曲线上,点(x,y)在变换后的曲线上,因此点(x,y)的坐标满足原来的曲线方程,点(x,y)的坐标满足变换后的曲线方程。2极坐标方程与直角坐标方程互化(1)公式代入:直角坐标方程化为极坐标方程公式xcos及ysin直接代入并化简。(2)整体代换:极坐标方程化为直角坐标方程,变形构造形如cos,sin,2的形式,进行整体代换。 一、走进教材1(选修44P15T4改编)在极坐标系中,圆2sin的圆心的极坐标是()ABC(1,0)D(1,)解析由2sin,得22sin,化成直角坐标方程为x2y22y,化成标准方程为x2(y1)21,圆心坐标为(0,1),其对应的极坐标为。故选B。解析:由2sin2cos,知圆心的极坐标为。故选B。答案B2(选修44P15T3改编)若以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则线段y1x(0x1)的极坐标方程为()A,0B,0Ccossin,0Dcossin,0解析因为y1x(0x1),所以sin1cos(0cos1),所以。故选A。答案A二、走出误区微提醒:极坐标与直角坐标的互化致误;求极坐标方程不会结合图形求解致误。3将极坐标化为直角坐标为()A(0,2)B(0,2)C(2,0)D(2,0)解析由可知直角坐标为(0,2)。故选B。答案B4在极坐标系中,过点且与极轴平行的直线方程是()A0BCcos2Dsin2解析极坐标为的点的直角坐标为(0,2),过该点且与极轴平行的直线的方程为y2,其极坐标方程为sin2。故选D。答案D5在极坐标系中,圆心在(,)且过极点的圆的方程为_。解析如图,O为极点,OB为直径,A(,),则ABO,OB2,化简得2cos。答案2cos考点一 伸缩变换【例1】(1)曲线C:x2y21经过伸缩变换得到曲线C,则曲线C的方程为_。(2)曲线C经过伸缩变换后所得曲线的方程为x2y21,则曲线C的方程为_。解析(1)因为所以代入曲线C的方程得C:y21。(2)根据题意,曲线C经过伸缩变换后所得曲线的方程为x2y21,则(2x)2(3y)21,即4x29y21,所以曲线C的方程为4x29y21。答案(1)y21(2)4x29y211平面上的曲线yf(x)在变换:的作用下的变换方程的求法是将代入yf(x),整理得yh(x)为所求。2解答该类问题应明确两点:一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用;二是明确变换前的点P(x,y)与变换后的点P(x,y)的坐标关系,用方程思想求解。 【变式训练】(1)在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换:则点A经过变换后所得的点A的坐标为_。(2)双曲线C:x21经过伸缩变换:后所得曲线C的焦点坐标为_。解析(1)设A(x,y),由伸缩变换:得到由于点A的坐标为,于是x31,y(2)1,所以A的坐标为(1,1)。(2)设曲线C上任意一点P(x,y),将代入x21,得1,化简得1,即为曲线C的方程,知C仍是双曲线,其焦点坐标分别为(5,0),(5,0)。答案(1)(1,1)(2)(5,0),(5,0)考点二 极坐标与直角坐标的互化【例2】(2018全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为yk|x|2。以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为22cos30。(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程。解(1)由xcos,ysin得C2的直角坐标方程为(x1)2y24。(2)由(1)知C2是圆心为A(1,0),半径为2的圆。由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线。记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2。由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点。当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线ykx2的距离为2,所以2,故k或k0。经检验,当k0时,l1与C2没有公共点;当k时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点。当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线ykx2的距离为2,所以2,故k0或k。经检验,当k0时,l1与C2没有公共点;当k时,l2与C2没有公共点。综上,所求C1的方程为y|x|2。1极坐标与直角坐标的互化依据是xcos,ysin。2互化时要注意前后的等价性。 【变式训练】(1)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为4sin。求曲线C的直角坐标方程。(2)在平面直角坐标系中,曲线C1:(为参数)经过伸缩变换后的曲线为C2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系。求C2的极坐标方程。解(1)把4sin展开得2sin2cos,两边同乘,得22sin2cos。将2x2y2,cosx,siny代入即得曲线C的直角坐标方程为x2y22x2y0。(2)由题意得曲线C2的参数方程为(为参数),则曲线C2的直角坐标方程为(x1)2y21,将xcos,ysin代入整理得2cos,所以曲线C2的极坐标方程为2cos。考点三 求曲线的极坐标方程【例3】在极坐标系中,直线C1的极坐标方程为sin2,M是C1上任意一点,点P在射线OM上,且满足|OP|OM|4,记点P的轨迹为C2。(1)求曲线C2的极坐标方程;(2)求曲线C2上的点到直线cos距离的最大值。解(1)设P(1,),M(2,),由|OP|OM|4,得124,即2。因为M是C1上任意一点,所以2sin2,即sin2,12sin。所以曲线C2的极坐标方程为2sin。(2)由2sin,得22sin,即x2y22y0,化为标准方程为x2(y1)21,则曲线C2的圆心坐标为(0,1),半径为1,由直线cos,得:coscossinsin,即xy2,圆心(0,1)到直线xy2的距离为d,所以曲线C2上的点到直线cos距离的最大值为1。求曲线的极坐标方程的步骤:(1)建立适当的极坐标系,设P(,)是曲线上任意一点;(2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式;(3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程。 【变式训练】(2019广州五校联考)在极坐标系中,圆C是以点C为圆心,2为半径的圆。(1)求圆C的极坐标方程;(2)求圆C被直线l:(R)所截得的弦长。解(1)设所求圆上任意一点M(,),如图,在RtOAM中,OMA,AOM2,|OA|4。因为cosAOM,所以|OM|OA|cosAOM,即4cos4cos,验证可知,极点O与A的极坐标也满足方程,故4cos为所求。(2)设l:(R)交圆C于点O,P,在RtOAP中,OPA,易得AOP,所以|OP|OA|cosAOP2。解:(1)圆C是将圆4cos绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆,所以圆C的极坐标方程是4cos。(2)将代入圆C的极坐标方程4cos,得2,所以圆C被直线l:(R)所截得的弦长为2。考点四 极坐标方程的应用【例4】在平面直角坐标系xOy中,直线l的方程是x4。曲线C的参数方程是(为参数)。以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。(1)求直线l和曲线C的极坐标方程;(2)若射线与曲线C交于点O,A,与直线l交于点B,求的取值范围。解(1)由xcos,得直线l的极坐标方程为cos4。曲线C的参数方程为(为参数),消去参数得曲线C的普通方程为(x1)2(y1)22,即x2y22x2y0,将x2y22,xcos,ysin代入上式得22cos2sin,所以曲线C的极坐标方程为2cos2sin。(2)设A(1,),B(2,),则12cos2sin,2,所以(sin2cos2)sin,因为0,所以2,所以sin1,所以sin。故的取值范围是。极坐标方程解决几何问题,一定要联系与的几何意义。 【变式训练】(1)(2018江苏高考)在极坐标系中,直线l的方程为sin2,曲线C的方程为
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