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第九节函数模型及其应用2019考纲考题考情1三种函数模型性质比较2.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f (x)axb(a,b为常数,a0)二次函数模型f (x)ax2bxc(a,b,c为常数,a0)与指数函数相关模型f (x)baxc(a,b,c为常数,a0且a1,b0)与对数函数相关模型f (x)blogaxc(a,b,c为常数,a0且a1,b0)与幂函数相关模型f (x)axnb(a,b,n为常数,a0) “直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长速度缓慢。 一、走进教材1(必修1P107A组T1改编)在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据,如下表:x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00则对x,y最适合的拟合函数是()Ay2x Byx21Cy2x2 Dylog2x解析根据x0.50,y0.99,代入计算,可以排除A;根据x2.01,y0.98,代入计算,可以排除B,C;将各数据代入函数ylog2x,可知满足题意。故选D。答案D二、走近高考2(2018浙江高考)我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题:“今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一。凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何。”设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x,y,z,则当z81时,x_,y_。解析因为z81,所以解得答案8113(2017北京高考)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080。下列各数中与最接近的是(参考数据:lg30.48)()A1033 B1053C1073 D1093解析因为0,所以lglglg3361lg1080361lg38093.28。所以1093。故选D。答案D三、走出误区微提醒:对三种函数增长速度的理解不深致错;建立函数模型出错;计算出错。4已知f (x)x2,g(x)2x,h(x)log2x,当x(4,)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是()Af (x)g(x)h(x)Bg(x)f (x)h(x)Cg(x)h(x)f (x)Df (x)h(x)g(x)解析由图象知,当x(4,)时,增长速度由大到小依次为g(x)f (x)h(x)。故选B。答案B5生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)x22x20(万元)。1万件售价是20万元,为获取最大利润,该企业一个月应生产该商品数量为()A36万件 B18万件C22万件 D9万件解析利润L(x)20xC(x)(x18)2142,当x18万件时,L(x)有最大值。故选B。答案B6一个容器装有细砂a cm3,细砂从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细砂量为yaebt cm3,经过8 min后发现容器内还有一半的细砂,则再经过_min,容器中的细砂只有开始时的八分之一。解析当t0时,ya,当t8时,yae8ba,所以e8b,容器中的细砂只有开始时的八分之一时,即yaebta,ebt(e8b)3e24b,则t24,所以再经过16 min容器中的细砂只有开始时的八分之一。答案16考点一 用函数图象的变化刻画变化过程【例1】(2017全国卷)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图。根据该折线图,下列结论错误的是()A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳解析通过题图可知A不正确,并不是逐月增加,但是每一年是递增的,所以B正确。从图观察C是正确的,D也正确,1月至6月比较平稳,7月至12月波动比较大。故选A。答案A当根据题意不易建立函数模型时,根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案。 【变式训练】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况。下列叙述中正确的是()A消耗1 L汽油,乙车最多可行驶5 kmB以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C甲车以80 km/h的速度行驶1 h,消耗10 L汽油D某城市机动车最高限速80 km/h,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油解析对于A选项:由题图可知,当乙车速度大于40 km/h时,乙车每消耗1 L汽油,行驶里程都超过5 km,则A错误。对于B选项:由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,则B错误。对于C选项:甲车以80 km/h的速度行驶时,燃油效率为10 km/L,则行驶1 h,消耗了汽油801108(L),则C错误。对于选项D:速度在80 km/h 以下时,丙车比乙车燃油效率更高,所以更省油,故D对。答案D考点二 已知函数模型的实际问题【例2】某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y10(x6)2,其中3x6,a为常数。已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克。(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大。解(1)因为x5时,y11,所以1011,a2。(2)由(1)可知,该商品每日的销售量y10(x6)2,所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x)(x3)210(x3)(x6)2,3x6。从而,f (x)30(x4)(x6)。于是,当x变化时,f (x),f (x)的变化情况如下表:x(3,4)4(4,6)f (x)0f (x)极大值42由上表可得,x4是函数f (x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点。所以,当x4时,函数f (x)取得最大值,且最大值等于42。即当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大。求解已给函数模型解决实际问题的关注点1认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数。2根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数。3利用该模型求解实际问题。 【变式训练】某食品的保鲜时间y(单位:h)与储藏温度x(单位:)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数,k,b为常数)。若该食品在0 的保鲜时间是192 h,在22 的保鲜时间是48 h,则该食品在33 的保鲜时间是_h。解析依题意有192eb,48e22kbe22keb,所以e22k,所以e11k或(舍去),于是该食品在33 的保鲜时间是e33kb(e11k)3eb319224(h)。答案24考点三 构建函数模型的实际问题微点小专题方向1:构建二次函数模型【例3】某汽车销售公司在A,B两地销售同一种品牌的汽车,在A地的销售利润(单位:万元)为y14.1x0.1x2,在B地的销售利润(单位:万元)为y22x,其中x为销售量(单位:辆),若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车,则能获得的最大利润是()A10.5万元 B11万元C43万元 D43.025万元解析设公司在A地销售该品牌的汽车x辆,则在B地销售该品牌的汽车(16x)辆,所以可得利润y4.1x0.1x22(16x)0.1x22.1x320.1(x)20.132。因为x0,16,且xN,所以当x10或11时,总利润取得最大值43万元。故选C。答案C方向2:构建分段函数模型【例4】“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点。研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度v(单位:千克/年)是养殖密度x(单位:尾/立方米)的函数。当x不超过4尾/立方米时,v的值为2千克/年;当4x20时,v是x的一次函数,当x达到20尾/立方米时,因缺氧等原因,v的值为0千克/年。(1)当0x20时,求函数v关于x的函数解析式。(2)当养殖密度x为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米)可以达到最大?求出最大值。解(1)由题意得当0x4时,v2;当4x20时,设vaxb,显然vaxb在(4,20内是减函数,由已知得解得所以vx。故函数v(2)设年生长量为f (x)千克/立方米,依题意并由(1)可得f (x)当0x4时,f (x)为增函数,故f (x)maxf (4)428;当4x20时,f (x)x2x(x220x)(x10)2,f (x)maxf (10)12.5。所以当0x20时,f (x)的最大值为12.5。即当养殖密度为10尾/立方米时,鱼的年生长量可以达到最大,最大值为12.5千克/立方米。方向3:构建指数函数、对数函数模型【例5】(1)世界人口在过去40年翻了一番,则每年人口平均增长率约是(参考数据lg 20.301 0,100.007 51.017)()A1.5%B1.6% C1.7%D1.8%(2)十三届全国人大一次会议政府工作报告指出:过去五年来,我国经济实力跃上新台阶。国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元,年均增长7.1%,占世界经济比重从11.4%提高到15%左右,对世界经济增长贡献率超过30%,2018年发展的预期目标是国内生产总值增长6.5%左右。如果从2018年开始,以后每年的国内生产总值都按6.5%的增长率增长,那么2020年的国内生产总值约为(提示:1.06531.208)()A93.8万亿元 B99.9万亿元C97万亿元 D106.39万亿元解析(1)设每年人口平均增长率为x,则(1x)402,两边取以10为底的对数,则40lg(1x)lg2,所以lg(1x)0.007 5,所以100.007 51x,得1x1.017,所以x1.7%。故选C。(2)由题意可知,2020年我国国内年生产总值约为:82.7(16.5%)399.9(万亿元)。故选B。答案(1)C(2)B解函数模型的实际应用题,首先应考虑该题考查的是何种函数,然后根据题意列出函数关系式(注意定义域),并进行相关求解,最后结合实际意义作
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