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第五节指数与指数函数2019考纲考题考情 1根式(1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果xna,那么x叫做a的n次方根n1且nN*当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数零的n次方根是零当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数(a0)负数没有偶次方根(2)两个重要公式()na(注意a必须使有意义)。2有理数的指数幂(1)幂的有关概念0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义,0的零次幂无意义。(2)有理数指数幂的运算性质arasars(a0,r,sQ)。(ar)sars(a0,r,sQ)。(ab)rarbr(a0,b0,rQ)。3指数函数的图象与性质yaxa10a1图象定义域R值域(0,)1指数函数图象的画法画指数函数yax(a0,且a1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),。2指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数yax,ybx,ycx,ydx的图象,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为cd1ab0。由此我们可得到以下规律:在第一象限内,指数函数yax(a0,a1)的图象越高,底数越大。3指数函数yax(a0,a1)的图象和性质跟a的取值有关,要特别注意应分a1与0a1来研究。 一、走进教材1(必修1P59A组T4改编)化简(x0,y0)_。解析因为x0,y0,且a1)的图象经过点P,则f(1)_。解析由题意知a2,所以a,所以f(x)x,所以f(1)1。答案3(必修1P59A组T7改编)已知a,b,c,则a,b,c的大小关系是_。解析因为yx是减函数,所以0,即ab1,又c01,所以cba。答案cba二、走近高考4(2016全国卷)已知,则()AbacBabcCbcaDcab解析因为,函数在(0,)上单调递增,所以,即ac,又因为函数y4x在R上单调递增,所以,即ba,所以ba1,则f(x)maxf(1)a2;若0a0,且a1)的图象可能是()A B CD解析当a1时,yax为增函数,且在y轴上的截距为011,此时四个选项均不对;当0a0,且a1)的图象必过点(1,0),故选D。答案D考点一 指数幂的运算【例1】(1)下列命题中,正确命题的个数为()a;aR,则(a2a1)01; xy;。A0B1C2D3解析(1)若n是奇数,则a;若n是偶数,则|a|所以错误;因为a2a1恒不为0,所以(a2a1)0有意义且等于1,所以正确;不能化简为y,所以错误;因为0,所以,所以错误。故选B。(2)原式111。答案(1)B(2)指数幂运算的一般原则1有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算。2先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数。3底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数。 【变式训练】 (其中a0,b0)_。(2)化简a()5的值为_。解析(1)原式213101。(2)由题意可得a1,b1,b0C0a0D0a1,b0(2)(2019厦门模拟)若曲线y|3x1|与直线ym有两个不同交点,则实数m的取值范围是_。解析(1)由f(x)axb的图象可以观察出,函数f(x)axb在定义域上单调递减,所以0a1。函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的,所以b0,且a1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),。2与指数函数有关的函数图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称、翻折变换得到其图象。3一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解。 考点三 指数函数的性质及应用微点小专题方向1:指数函数的单调性应用【例3】(1)(2019福建厦门模拟)已知a0.3,blog0.3,cab,则a,b,c的大小关系是()AabcBcabCacbDbc1且a2)在区间(0,)上具有不同的单调性,则M(a1)0.2与N0.1的大小关系是()AMNBMN CMN解析(1)blog0.3log1a0.3,caba。所以ca1且a2)在区间(0,)上具有不同的单调性,所以a2,所以M(a1)0.21,N0.1N。故选D。答案(1)B(2)D比较指数式的大小的方法1能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小。2不能化成同底数的,一般引入“1”等中间量比较大小。 方向2:复合函数的单调性应用【例4】(1)已知函数f(x)2|2xm|(m为常数),若f(x)在区间2,)上是增函数,则m的取值范围是_。(2)函数f(x)的单调递减区间为_。解析(1)令t|2xm|,则t|2xm|在区间上单调递增,在区间上单调递减。而y2t为R上的增函数,所以要使函数f(x)2|2xm|在2,)上单调递增,则有2,即m4,所以m的取值范围是(,4。(2)设ux22x1,因为yu在R上为减函数,所以函数f(x)的减区间即为函数ux22x1的增区间。又ux22x1的增区间为(,1,所以f(x)的减区间为(,1。答案(1)(,4(2)(,1求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断。 方向3:指数函数性质的综合问题【例5】(1)函数f(x)a(a,bR)是奇函数,且图象经过点,则函数f(x)的值域为()A(1,1)B(2,2)C(3,3)D(4,4)(2)若不等式12x4xa0在x(,1时恒成立,则实数a的取值范围是_。解析(1)函数f(x)为奇函数,定义域是R,则f(0)a0,函数图象过点,则f(ln3)a。结合可得a1,b2,则f(x)1。因为ex0,所以ex11,所以02,所以11。因为函数yx和yx在R上都是减函数,所以当x(,1时,x,x,所以xx,从而得。故实数a的取值范围为a。答案(1)A(2)指数函数性质的重点是其单调性,解题中注意利用单调性实现问题的转化。 【题点对应练】1(方向1)已知a,b(0,1)(1,),当x0时,1bxax,则()A0ba1B0ab1C1baD1a0时,11。因为x0时,bx0时,x1。所以1,所以ab。所以1b0,且a1),满足f(1),则f(x)的单调递减区间是()A(,2B2,)C2,)D(,2解析由f(1),得a2,解得a或a(舍去),即f(x)|2x4|。由于y|2x4|在(,2上递减,在2,)上递增,所以f(x)在(,2上递增,在2,)上递减。故选B。答案B4(方向3)当x(,1时,不等式(m2m)4x2x0恒成立,则实数m的取值范围是_。解析原不
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