第18题 几类特殊函数（对勾函数、绝对值函数等）I理论基础解题原理（I）对勾函数1、 对勾函数的定义形如的函数，叫做对勾函数2、 对勾函数的图象与性质1. 定义域 2. 值域当时，（当且仅当，即时取等号）当时，（当且仅当，即时取等号）函数的值域为3. 奇偶性由于双勾函数定义域关于原点对称，则对勾函数为奇函数4. 单调性由于，令，解得或，令，解得或，所以函数在上为增函数，在上为减函数，在上为减函数，在上为增函数5. 渐近线当时，当时，说明函数的的图象在第一、第三象限当时，说明函数在第一象限的图象在直线的上方，当时，说明函数在第三象限的图象在直线的下方双勾函数就是以轴和直线为渐近线的双曲线特别时，函数图象如下图所示：（II）绝对值函数一、绝对值函数的定义：形如的函数，叫做绝对值函数含绝对值的函数本质上是分段函数,往往需要先去绝对值再结合函数图像进行研究,由于去绝对值函数大多要涉及到分类讨论,对能力要求较高,故备受高考命题者青睐,高考常考的主要有以下3类：1形如的函数,研究此类函数往往结合图像,可以看成由的图像在轴上方部分不变,下方部分关于轴对称得到；2形如的函数,此类函数是偶函数,因此可以先研究的情况,的情况可以根据对称性得到；3函数解析式中部分含有绝对值,如,等,这种函数是普通的分段函数,一般先去绝对值,再结合图像进行研究2、 绝对值函数的图象与性质1. 定义域：R；2. 值域：；3. 单调性：函数在上为减函数，在上为增函数特别时，图象如下图所示（III）取整函数取整函数的定义若x为实数，表示不超过的最大整数，则函数叫做取整函数举例如下：等IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，可以是选择题或填空题，也可以是解答题，难度较大，往往与函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性有联系，主要考查函数的性质的应用等【技能方法】解决此类问题一般要把先求函数的定义域，在定义域内研究函数的相关性质最好先画出函数的图象，利用数形结合思想，解决相应问题【易错指导】注意定义域先行原则，必须先求出函数的定义域，在定义域内解决相应问题V举一反三触类旁通考向1 对勾函数【例1】【2018河北唐山模拟】已知，则（ ）A B C D【答案】A【解析】，令，则为奇函数，则，所以，有，故选A考点：函数值、函数的奇偶性【例2】【2018云南省师大附中模拟】若函数在区间上单调递减，则实数t的取值范围是（ ）A B C D【答案】C考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性【例3】【2017山西四校联考】若函数的导函数在区间（1，2）上有零点，则在下列区间上单调递增的是 A B C D【解析】，显然，函数的导函数在区间（1，2）上有零点，为增函数，只需，故选D【名师点睛】1要结合图象，理解对勾函数的各种性质，单调性，对称性，奇偶性等2通过对勾函数的研究，要明确均值不等式的使用条件3对渐近线的认识，应进一步加深，我们可以理解为，函数图象无限靠近直线，且总在直线的一侧【例4】【2018吉林百校联盟高三九月联考】已知函数函数，则下列说法错误的是（ ）A若，则函数无零点 B若，则函数有零点C若，则函数有一个零点 D若，则函数有两个零点【答案】A【解析】作出函数的图象如图所示：观察可知：当时，函数有一个零点，故A错误故选A【跟踪练习】1若函数，则下列结论正确的是（ ）2关于函数有下列命题：（1）其图象关于y轴对称；（2）函数f(x)在上单调递增，在上单调递减；（3）函数f(x)的最小值为； （4）函数f(x)在上单调递增；（5）函数f(x)无最大值，也无最小值其中所有正确结论的序号是（ ）【解析】注意函数的定义域为如图：所以在上，g(x)在上递减，在上递增所以由复合函数单调性可知，f(x) 在上递减，在上递增由函数对称性，f(x) 在上递增，在上递减，所以（2）不正确，（4）正确又因为，函数g(x)的最小值为2，所以f(x)的最小值为lg2，所以（3）正确，（5）不正确3函数的最大值为_【答案】54求函数在下列条件下的值域：(1)；(2)【解析】（1）当x0时，由均值不等式，有当时，即时，取到等号；当x0(1)证明:函数f(x)在上是减函数,在 上是增函数；(2)利用(1)的结论,求函数 (x4,6)的值域；(3)借助(1)的结论,试指出函数 的单调区间,不必证明（3），所以值域为：考向2 绝对值函数【例5】【2017云南昆明下学期第二次统测】已知关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是 （ ）A B C D【答案】C【例6】已知函数,若方程有四个不同的解,且,则的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【例7】【2018上海交通大学附中高三上学期开学摸底考试】已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是_【答案】【例8】【2015高考湖北卷】为实数,函数在区间上的最大值记为当 时,的值最小【答案】【解析】当时,函数的图像如图所示函数在区间上单调递增,当时,在区间上的最大值为当时,函数的图像如图所示【例9】函数 ,关于的方程恰有三个不同实数解,则实数的取值范围为 【答案】【例10】【2018广东广州模拟】已知函数 (1)证明：函数是偶函数；(2)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数的形式，然后画出函数图像（草图），并写出函数的值域；(3)在同一坐标系中画出直线，观察图像写出不等式的解集【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】试题分析: 判断函数的奇偶性，首先要考查函数的定义域，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提，当函数的定义域关于原点对称式， 根据f(-x)与f(x)的关系，判断函数f(x)为奇偶性；再利用零点分区间讨论法分段去掉绝对值符号，化为分段函数，画出函数图象；根据图象解不等式，这是一种数形结合思想试题解析：（1）依题可得： 的定义域为 是偶函数 （2） 由函数图象知，函数的值域为 （3）由函数图象知，不等式的解集为【跟踪练习】1【2018浙江台州模拟】函数，其中，若动直线与函数的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别，则的最大值为（ ）A4B3C2D1【答案】D由，得，由，得，当且仅当，即时取到等号，故答案为D考点：1、函数图象的应用；2、基本不等式的应用2【2018北京西城区模拟】设函数（1）如果，那么实数_； （2）如果函数有且仅有两个零点，那么实数的取值范围是_【答案】或4；【解析】由题意 ，解得或；第二问如图：考点：1分段函数值；2函数的零点3设函数为常数）（1）a=2时，讨论函数的单调性；（2）若a-2，函数的最小值为2，求a的值（2），结合图像可得当时函数的最小值为=2，解得a=3符合题意；当时函数的最小值为，无解；综上，a=3考向3 取整函数与程序框图【例11】【2018山西四校联考】执行图中的程序框图（其中表示不超过的最大整数），则输出的值为A5 B7 C9 D12考向4 取整函数与函数的周期性【例12】【2018陕西西北工业大学附中模拟】x为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上为 ( )A奇函数 B偶函数 C增函数 D 周期函数【答案】D【解析】因为f（x）=x-x，所以f（x+1）=（x+1），-x+1=x+1-x-1=x-x=f（x），f（x）=x-x在R上为周期是1的函数所以选D考点：函数的周期性【例13】【2017重庆一中高三上学期一诊模拟考试】高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，设，用表示不超过的最大整数，并用表示的非负纯小数，则称为高斯函数，已知数列满足：，则_【答案】考点：归纳推理、数列的递推公式及新定义问题【跟踪练习】1【2018重庆铜梁一中高三上学期第一次月考】阅读下列一段材料，然后解答问题：对于任意实数，符号表示“不超过的最大整数”，在数轴上，当是整数， 就是，当不是整数时， 是点左侧的第一个整数点，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯（Gauss）函数如求 的值为（ ）A0 B-2 C-1 D1【答案】C【解析】=2,21,=1,=0,=1,10），作出g（x）的图象，利用数形结合即可得到a的取值范围由f（x）=0得；令g（x）=，（x0），则当0x1，x=0，此时g（x）=0，当1x2，x=1，此时g（x）=，此时；当2x3，x=2，此时g（x）=，此时；当3x4，x=3，此时g（x）=，此时；当4x5，x=4，此时g（x）=，此时；作出g（x）的函数的图象，要使函数有且仅有3个零点，即函数g（x）的图象与直线y=a有且只有三个零点，由图象可知：故答案为：考点：函数的零点与方程根的关系【例15】【2018杭州重点中学联考】已知，符号表示不超过x的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则的取值范围是 【答案】B若x0，此时x0；若x=0，则，若x1，因为xxx+1，故，且随着x的增大而增大若x0，此时x0；