4.2 用数学归纳法证明不等式课堂导学三点剖析一、利用数学归纳法证明不等式的技巧（一）【例1】 对于nN,证明1.证明：当n=1时，左边=1=右边；设n=k时，有1;当n=k+1时，左边1=右边.所以对一切自然数n不等式均成立.温馨提示解此题的关键是凑出归纳假设的形式，这里要把握不等式左边式子的结构特征，明确从n=k到n=k+1增减的项.各个击破类题演练1对于nN，试比较2n与n2的大小.解析：先验算n=1时，2nn2，n=2和n=4时，2n=n2,n=3时,2nn2,猜测对n5有2nn2.用数学归纳法证明如下：（1）当n=5时，已证.（2）设当n=k(k5)时，2kk2且k22k+1.当n=k+1时，2k+1=22k2k2k2+2k+1=(k+1)2,即n=k+1时成立.由（1）、（2），知猜测正确.变式提升1求证：1+.证明：用数学归纳法.当n=1时，显然不等式成立.根据归纳假设，当n=k时，命题成立，即1+.要证明n=k+1时，命题也成立，即1+.要用来证明,事实上，对不等式两边加上（）,就凑好了不等式的左边.接下来，只需证.式左边共有2k项，且最小，故,这就证明了式成立.综上，知不等式成立.二、利用数学归纳法证明不等式的技巧（二）【例2】 已知n是大于1的自然数，求证：(1+)(1+)(1+)(1+).证明：假设n=k(k2)时，原不等式成立，即（1+）(1+)(1+)(1+).则当n=k+1时，左边=（1+）（1+）（1+）（1+）() (1+)=().现在关键证(),直接证较繁,下面用分析法证之.欲证（）,即证,只需证2k+1+22k+3,即0.这显然是成立的，故当n=k+1时，原不等式成立.综上，当n为大于1的自然数时，原不等式成立.温馨提示用数学归纳法证明不等式时，从P(k)到P(k+1)的过渡往往用到不等式的传递性，即要证n=k+1时不等式成立不妨用A(k+1)B(k+1)表示，需n=k时，A（k）B(k)成立,然后有A（k+1）=A(k)+C(k)B(k)+C(k),类题演练2在数列an中，|an|2,且an+1an-2an+1+2an(nN).证明：|an|2,-2an0.由题设an+1(2-an)2an,则an+1.1当n=1时，由|an|-2=成立.2假设当n=k时，有ak成立.（下证ak+1成立）设f(x)=,易知f(x)在(-2,2)内是单调递增的，又ak+1f(ak),由归纳假设,可知ak,ak+1f(ak)f()=,即当n=k+1时，ak+1成立.故对任意nN，an成立.变式提升2设a,bR*,nN*,求证：()n.证明：n=1时，左边=右边=,原不等式成立.设n=k时,原不等式成立，即()k成立.a,bR+,成立.要证明n=k+1时原不等式成立，即证明k+1成立.只需证明:成立.只需证明:ak+1+bk+1abk+akb成立.下面证明:ak+1+bk+1abk+akb成立.不妨设ab0,则ak+1+bk+1-abk-akb=(ak-bk)(a-b)0.ak+1+bk+1abk+akb成立.故n=k+1时原不等式成立.由,可知对于任何nN*，原不等式成立.三、数学归纳法证明不等式的点问题【例3】 证明n为一切自然数时，（1+2+n）（1+）n2.证明：先看下面的证明（1）n=1时，左边=右边=1,命题正确.（2）假设n=k(kN且k1)命题正确，即(1+2+k)(1+)k2，则n=k+1时，左边=1+2+k+(k+1)1+=(1+2+k)(1+)+(k+1)（1+）+1k2+k+(k+1)(1+)+1，1+1+,左边k2+k+(k+1)(1+)+1=k2+2k+1+k2+2k+1=(k+1)2.n=k+1时命题正确.综合（1）、（2）,知n为一切自然数时命题正确.初看“证明”天衣无缝，仔细推敲便会发现“证明”中的“奠基”只是不中用的拉郎配.归纳步的证明用了结论“1+1+”,此结论成立的前提条件是k2,即归纳步建立的自动递推机制只能在n2(nN)的范围内行使递推职能，其得以起动的初始条件是n=2时命题正确.因此数学归纳法的奠基应是n=2时命题正确的验证，n=1时的验证只是对命题的补充证明，并非为奠基.该命题严格的证明过程应该是：（1）n=1,2时命题正确，（2）n2时，用数学归纳法证明假设n=k(kN且k2)时命题正确，证明n=k+1时命题也正确.综合（1）、（2）,知n为一切自然数时命题正确.温馨提示对于一个nn0(nN)的真命题，如果用数学归纳法证明，第一步总是n=n0时命题正确的验证.这种想法是不对的，到底“奠基”步中从哪个数字开始，要看问题的条件.类题演练3若ai0(i=1,2,n),且a1+a2+an=1,求证：a12+a22+an2(nN且n2).证明：(1)n=2时，a1+a2=1,a12+a22=a12+(1-a1)2=2(a1-)2+.n=2时命题正确.（2）假设n=k(k2)时命题正确，即如果a1+a2+ak=1且ai0(i=1,2,k),那么a12+a22+ak2,则n=k+1时，a1+a2+ak+ak+1=1,a1+a2+ak=1-ak+1.0ak+11,01-ak+10，x1,求证：（1+xn）(1+x)n2n+1xn(nN).证明：（1）n=1时，左边=(1+x)2,右边=4x,(1+x)2-4x=(1-x)20,(1+x)24x.n=1时命题正确.（2）假设n=k(kN且k1)时命题正确，即(1+xk)(1+x)k2k+1xk,则n=k+1时，（1+xk+1）(1+x)k+1-2k+2xk+1=(1+xk+1)(1+x)k+1-2x2k+1xk(1+xk+1)(1+x)k+1-2x(1+xk)(1+x)k=(1+x)k(1+x)(1+xk+1)-2x(1+xk)=(1+x)k(1+x+xk+1+xk+2-2x-2xk+1)=(1+x)k(1-x)(1-xk+1),x0且x1,1-x与1-xk+1同号.（1+x）k(1-x)(1-xk+1)0.（1+xk+1）(1+x)k+12(k+1)+1xk+1.n=k+1时命题正确.5