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1.1.2 弧度制课堂导学三点剖析1.理解弧度的意义,角度与弧度的换算【例1】设角1=-570,=750,1=35弧度,2=弧度.(1)将1,用弧度表示出来,并指出它们各自所在的象限;(2)将1、2用角度制表示出来,并在-7200之间找出与它们有相同终边的所有角.思路分析:涉及到角度与弧度的互化关系和终边相同的角的概念,其基本公式360=2弧度在解题中起关键作用.解:(1)180=弧度,-570=-.1=-22+,同理=22+,1在第二象限,在第一象限.(2)180=108,设=k360+1(kZ),由-7200,-720k360+1080,k=-2或k=-1,在-7200之间与1有相同终边的角是-612和-252.同理 2=-360-60=-420,且在-7200间与2有相同的终边的角是-420和-60.温馨提示 迅速进行角度与弧度的互化,准确判明角所在的象限是学习三角函数知识的必备基本功.若需要在某一指定范围内求具有某种特性的角,通常可象上例一样化为解不等式去求对应的k值.2.弧度制的概念及与角度的关系【例2】一条弦的长度等于半径r,求:(1)这条弦所对的劣弧长;(2)这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.思路分析:由已知可知圆心角的大小为,然后用公式求解.解:(1)如下图所示,半径为r的O中弦AB=r,则OAB为等边三角形,所以AOB=,则弦AB所对的劣弧长为r.(2)SAOB=|AB|OD|=rS扇形OAB=lr=r=S弓形=S扇形OAB-SAOB=r2-=(-)r2.3.弧度制表示角及终边相同的角【例3】 集合M=x|x=+,kZ,N=x|x=+,kZ,则有( )A.M=N B.MN C.MN D.MN=思路分析:本题是考查用弧度制表示角的集合之间的关系.可以用取特殊值法分别找到集合M、N所表示的角的终边的位置.解:对集合M中的整数k依次取0,1,2,3,得角,.于是集合M中的角与上面4个角的终边相同,如图(1)所示.同理,集合N中的角与0,2角的终边相同,如下图(2)所示.故MN.选C.答案:C温馨提示 在今后表示角时,常常使用弧度制.但要注意,弧度制与角度制不能混用,例如=2k+30(kZ),=k360+(kZ)都不正确.各个击破类题演练1(1)把11230化成弧度(精确到0.001);(2)把11230化成弧度(用表示);(3)把-化成度.解:(1)n=11230,=3.141 6;n=112.5=0.017 5=na=1.968 751.969 rad(2)11230=(2252)=2252=(3)-=-()=-75变式提升1判断下列各角所在的象限:(1)9;(2)-4;(3).解:(1)因为9=2+(9-2),而9-2,所以9为第二象限角.(2)因为-4=-2+(2-4),而2-4,所以-4为第二象限角.(3) =-2002+5,所以为第一象限角.温馨提示(1)角度数的单位不能省略、弧度数的单位可以省略.(2)一般情况下没有精确度要求,保留即可,不必将化成小数.(3)判断所在的象限时,一般是把表示成=2k+,kZ,0,2)的形式,根据和角终边相同作出判断.类题演练2一个半径为r的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的长,那么扇形的圆心角是多少弧度?扇形的面积是多少?解:设扇形的圆心角是弧度,则扇形的弧长是r,扇形的周长是2r+r.由题意可知2r+r=r.=-2(弧度).扇形的面积为S=r2=r2(-2).变式提升2一扇形周长为20 cm,问扇形的半径和圆心角各取什么值时,才能使扇形面积最大?解:设扇形中心角为,半径为r,则2r+r=20,=.S扇形=r2=12r2=(10-r)r=10r-r2.当r=5时,S扇形最大=25,此时=2.答:扇形的半径为5 cm,圆心角为2 rad时,扇形面积最大,最大值为25 cm2.类题演练3已知角的终边与的终边相同,在0,2)内哪些角的终边与角的终边相同?解:角的终边与的终边相同,=2k+(kZ).=2k+9(kZ).又02,0+2(kZ).当k=0、1、2时,有=、,它们满足条件.、为所求.变式提升3若是第四象限角,则-是( )A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角解法1:为第四象限角.2k-2k,kZ.-2k-2k+,kZ.-2k+-2k+,kZ.-是第三象限角.解法2:角与角-的终边关于x轴对称,又角的终边在第四象限,角-终边在第一象限,又角-与-的终边关于原点对称,角-的终边在第三象限.答案:C4
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