课时跟踪检测(三十二)三角函数与平面向量的难点问题集释1在非等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(BC)sin2Bsin2C，则角A的取值范围为()A.B.C. D解析：选D由题意得sin2Asin2Bsin2C，由正弦定理得a2b2c2，即b2c2a20，则cos A0.因为0A，所以0A，又a为最大边，所以A，即角A的取值范围为.2已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin Asin B，b，则ABC的面积的最大值为()A. B.C. D解析：选A根据正弦定理由sin Asin B，可得ab，得a2b2c(ac)，即a2c2b2ac，故cos B，B(0，)，B.又由b，可得a2c2ac3，故a2c2ac32ac，即ac3，当且仅当ac时取等号，故ac的最大值为3，这时ABC的面积取得最大值，为3sin.3在钝角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为钝角，若acos Absin A，则sin Asin C的最大值为()A. B.C1 D解析：选Bacos Absin A，由正弦定理可得，sin Acos Asin Bsin A，sin A0，cos Asin B，又B为钝角，BA，sin Asin Csin Asin(AB)sin Acos 2Asin A12sin2A22，sin Asin C的最大值为.4已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若abcos Ccsin B，且ABC的面积为1，则b的最小值为()A2 B.3C. D解析：选A由abcos Ccsin B及正弦定理，得sin Asin Bcos Csin Csin B，即sin(BC)sin Bcos Csin Csin B，得sin Ccos Bsin Csin B，又sin C0，所以tan B1.因为B(0，)，所以B.由SABCacsin B1，得ac24.又b2a2c22accos B2acac(2)(42)4，当且仅当ac时等号成立，所以b2，b的最小值为2，故选A.5(2019合肥质检)在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(ab)(sin Asin B)(cb)sin C若a，则b2c2的取值范围是()A(5,6 B.(3,5)C(3,6 D5,6解析：选A由正弦定理可得，(ab)(ab)(cb)c，即b2c2a2bc，所以cos A，则A.又2，所以b2c24(sin2Bsin2C)4sin2Bsin2(AB)4sin 2Bcos 2B42sin4.又ABC是锐角三角形，所以B，所以2B.所以b2c2的取值范围是(5,66.如图，ABC是边长为2的正三角形，P是以C为圆心，半径为1的圆上任意一点，则的取值范围是()A1,13 B.(1,13)C(4,10) D4,10解析：选A取AB的中点D，连接CD，CP，则2，所以()()21(2)2cos231cos，176cos，所以当cos，1时，取得最小值为1；当cos，1时，取得最大值为13，因此的取值范围是1,137已知RtABC中，AB3，BC4，AC5，I是ABC的内心，P是IBC内部(不含边界)的动点，若 (，R)，则的取值范围是()A. B.C. D(2,3)解析：选A以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0,0)，A(3,0)，C(0,4)设ABC的内切圆的半径为r，因为I是ABC的内心，所以(534)r43，解得r1，所以I(1,1)设P(x，y)，因为点P在IBC内部(不含边界)，所以0x1.因为(3,0)，(3,4)，(x3，y)，且，所以得所以1x，又0x1，所以，故选A.8(2019唐山模拟)在ABC中，(3)，则角A的最大值为_解析：因为(3)，所以(3)0，即(3)()0，整理得24320，即cos A2 ，当且仅当|时等号成立因为0A，所以0A，即角A的最大值为.答案：9(2018沈阳质监)已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足4Sa2(bc)2，bc8，则S的最大值为_解析：由题意得，4bcsin Aa2b2c22bc，又a2b2c22bccos A，代入上式得，2bcsin A2bccos A2bc，即sin Acos A1，sin1.0A，A，A，A，Sbcsin Abc.又bc82，当且仅当bc时取“”，bc16，S的最大值为8.答案：810.如图，在RtABC中，ABAC，BC4，O为BC的中点，以O为圆心，1为半径的半圆与BC交于点D，P为半圆上任意一点，则的最小值为_解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2,0)，A(0,2)，D(1,0)，设P(x，y)，故(x2，y)，(1，2)，所以x2y2.令x2y2t，根据直线的几何意义可知，当直线x2y2t与半圆相切时，t取得最小值，由点到直线的距离公式可得1，t2，即的最小值是2.答案：211(2019长沙长郡中学月考)已知F是抛物线y24x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，4(其中O为坐标原点)，则ABO面积的最小值是_解析：不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y10，由4，即x1x2y1y24得yyy1y24，得y1y28.所以SABO|x1y2x2y1|y1y2|4，当y12，y22时取等号，故ABO面积的最小值为4.答案：412(2018武汉调研)在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足cos 2Acos 2B2coscos0.(1)求角A的值；(2)若b且ba，求a的取值范围解：(1)由cos 2Acos 2B2coscos0，得2sin2B2sin2A20，化简得sin A，又ABC为锐角三角形，故A.(2)ba，ca，C，B，sin B.由正弦定理，得，a，由sin B得a，3)故a的取值范围为，3)