第六章 不等式、推理与证明第一节不等关系与不等式2019考纲考题考情1实数的大小顺序与运算性质的关系(1)abab0；(2)abab0；(3)abab0。2不等式的性质(1)对称性：abba。(双向性)(2)传递性：ab，bcac。(单向性)(3)可加性：abacbc。(双向性)(4)ab，cdacbd。(单向性)(5)可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acbc。(6)ab0，cd0acbd。(单向性)(7)乘方法则：ab0anbn(nN，n1)。(单向性)(8)开方法则：ab0(nN，n2)。(单向性)(9)倒数性质：设ab0，则ab。(双向性)注意以下结论：1ab，ab0。2a0bb0,0c。40axb或axb0b0，m0，则(bm0)；0)。 一、走进教材1(必修5P74练习T3改编)若a，b都是实数，则“0”是“a2b20”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析0ab0a2b2，但由a2b20 0。故选A。答案A2(必修5P75A组T2改编)_(填“”“”或“”)。解析分母有理化有2，显然2，所以。答案b，则b，但是，故答案可以为1，1。(答案不唯一，满足a0，bxyz，若教师人数为4，则4yx8，当x7时，y取得最大值6。当z1时，1zyx2，不满足条件；当z2时，2zyx4，不满足条件；当z3时，3zyxb0，cd0 B D解析因为cd0，所以0dc，又0ba，bdac，又cd0，即。故选D。答案D6设a，bR，则“a2且b1”是“ab3且ab2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析若a2且b1，则由不等式的同向可加性可得ab213，由不等式的同向同正可乘性可得ab212。即“a2且b1”是“ab3且ab2”的充分条件；反之，若“ab3且ab2”，则“a2且b1”不一定成立，如a6，b。所以“a2且b1”是“ab3且ab2”的充分不必要条件。故选A。答案A7若，则的取值范围是_。解析由，得a BacbCcba Dacb(2)若a，b，c，则()Aabc BcbaCcab Dba0，所以ba，所以cba。(2)易知a，b，c都是正数，log8164b；log6251 0241，所以bc。即cbe时，函数f(x)单调递减。因为e34f(4)f(5)，即cba。答案(1)A(2)B比较大小的常用方法1作差法一般步骤：作差；变形；定号；结论。其中关键是变形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式。当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差。 2作商法一般步骤：作商；变形；判断商与1的大小关系；结论。3函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系。 【变式训练】(1)设a，b0，)，A，B，则A，B的大小关系是()AAB BABCAB(2)若a1816，b1618，则a与b的大小关系为_。解析(1)因为A0，B0，A2B2a2b(ab)20，所以AB。故选B。(2)16161616，因为(0,1)，所以160,16180，所以18161618，即ab。答案(1)B(2)ab考点二 不等式的性质应用【例2】(1)若abb2；|1a|b1|；。其中正确的个数是()A0 B1C2 D3(2)设0ac0，则下列结论不正确的是()AabcaClogab解析(1)因为ab|b|0，所以a2b2，故a21b2，正确。abb0a1b10，故|1a|b1|，正确。ab0abab，正确。故选D。(2)取a，b4，c2，则由，故D结论错误。故选D。答案(1)D(2)D解决此类题目常用的三种方法1直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件。2利用特殊值法排除错误答案。 3利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断。 【变式训练】(1)若ab|b| Ba2abC D(2)已知xy，则下列不等式一定成立的是()A0Cx2y2 Dxy解析(1)由ab|b|，A成立；因为abab，B成立；因为ab，C成立；当a2，b1时，1，不成立。故选D。(2)A中，当x1，y1时，不成立，所以A错；B中，当x1，y时，log2(xy)1y2不成立，所以C错；D中，f(x)x在R上单调递减，当xy时，xy成立，故选D。答案(1)D(2)D考点三 求代数式的取值范围【例3】(1)三个正数a，b，c满足abc2a，bac2b，则的取值范围是()A BC2,3 D1,2(2)已知2xy，3xy，则9xy的取值范围是_。解析(1)三个正数a，b，c满足abc2a，bac2b，所以12，1，即1，所以112，即即所以。故选A。(2)设9xya(2xy)b(3xy)，则9xy(2a3b)x(ab)y，于是比较两边系数得得a6，b7。由已知不等式得36(2xy)3，7(3xy)，所以9xy。答案(1)A(2)求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径。 【变式训练】(1)已知1x4,2y3，则xy的取值范围是_，3x2y的取值范围是_。(2)已知f(a，b)axby，如果1f(1,1)2，且1f(1，1)1，则f(2,1)的取值范围是_。解析(1)因为1x4,2y3，所以3y2，所以4xy2。由1x4,2y3，得33x12,42y6，所以13x2y0，q0，前n项和为Sn，则与的大小关系为_。解析当q1时，3，5，所以0且q1时，0，所以。综上可知。答案y1,0abyb BxaybCaxby解析易知函数yax(0ay1,0ab1，所以axayby。故选C。答案C