高等数学（工本）总习题解答（见教材第459页）1确定下列各级数的敛散性：（1）；解 这是等比级数，公比，故该级数收敛（2）；解 因为，而发散，故由第二比较准则知该级数发散注 本题也可用第一比较准则，因为，而发散，故发散（3）；解 因为而收敛，故原级数收敛另解：因，而收敛，故原级数收敛（4）；解 ，故级数发散（5）；解 因为，而发散，所以原级数发散（6）；解 因为，而收敛，故原级数收敛（7）；解 因为，而是公比的等比级数，是收敛的，故由第二比较准则知收敛（8）；解 因为，故由检比法知收敛（9）解 因为所以 故由检比法知该级数收敛2当取什么值时，下列各级数收敛？（参看习题113第7题）（1）；解 故当即时该级数收敛；当即时，该级数发散；当时，原级数成为发散的，所以当时，级数收敛（2）；解 因为故当即时，从而该级数发散，仅当即时，该级数收敛（3）；解 因为，当时该级数各项均无定义，所以该级数当时收敛（4）解 因为，当时，该级数发散，所以无论为何值，该级数都发散，而当时，级数各项均无意义，无需讨论其敛散性，所以使该级数收敛的值不存在。3证明级数是发散的 证 因为 所以 又为交错级数且故由莱布尼兹准则知该级数收敛；而发散，因此发散4设，且收敛，证明也收敛 证 因为收敛，所以，所以存在N，当nN，从而 （nN）而收敛，所以收敛，故由第一比较准则知收敛，所以收敛证法2 因，故为收敛的正项级数，由正项级数收敛的充分必要条件（见教材第421页定理）知该级数的部分和上有界，即存在M0，使又设级数的部分和为，且从而有上界，所以由正项级数收敛的充分必要条件和级数收敛5如果条件收敛，证明，其中这里为的部分和，为的部分和证 因为条件收敛，所以发散，又和分别为和的部分和，从而（有限值），于是6求下列各幂级数的收敛半径，并写出它们的敛区，在（1）到（8）题中，如果收敛半径为有限值，试确定在敛区端点处的敛散性：（1）；解 故该级数的收敛半径R=2，敛区为（2，2）当时，幂级数成为，此级数为交错级数，且满足莱布尼兹准则的条件，故收敛；当时，原级数成为，为调和级数（去掉第一项），故发散（2）；解 令，原级数成为，对此级数，因为故原级数的收敛半径，敛区为即当时，原级数成为它是收敛的当时，原级数成为是收敛的（3）；解 令，原级数成为，对此级数，故该级数当收敛，当发散，从而原级数当，即收敛；当即发散，所以原级数的收敛半径，敛区为，当或时，原级数成为同一个级数，它是交错级数，且满足莱布尼兹准则的条件，从而是收敛的（4）；解 该级数为级数和的和，又是收敛域为（1，1）对于，因为，故的收敛半径为，敛区为当时，该级数成为显然发散当时，级数成为显然发散从而的收敛域为，故原级数的收敛半径，敛区为，且当或时原级数都发散（5）；解 故该级数的收敛半径为，敛区为（e，e）当时，原级数成为，该级数通项为单调递增数列且，故有，从而，从而，即数列为单调递增数列，所以，于是发散同理当时，级数亦发散（6）；解 因为，可见对任何值，级数都收敛，故该级数的收敛半径，敛区为（7）；解 故该级数的收敛半径，敛区为（4，4）当时，原级数成为，该级数通项为 所以数列为单调增数列，从而，于是发散同理，当时，原级数成为亦发散（8）；解 故收敛半径，敛区为（1，1）当时，原级数成为，该级数通项考察函数故当，即时，从而为单调增函数，所以当时，数列是单调增加的，因此，故发散同理，当时，原级数成为亦发散注 又 ，于是 （9）；解 因为，故由检根法，当，即时该级数收敛，当即时，该级数发散，所以该级数的收敛半径，敛区为（10），；解 故该级数的收敛半径，敛区为（11），；解 所以当时该级数的收敛半径为，当时该级数的收敛半径为，从而该级数收敛半径，敛区为（R，R）（12）解 先求的收敛半径和敛区； 故级数的收敛半径，敛区为下面求的收敛半径和敛区故级数的收敛半径，敛区为 由于原级数是上述这两个级数之和，故其敛区至少是上述两敛区的公共部分，记，则在（R，R）内原级数收敛，在R，R外，上述两级数一个收敛，另一个发散，故其和即原级数发散，故原级数的收敛半径为，敛区为（R，R）7确定级数的收敛域，并求出它的和函数。解 因为级数的敛区为（1，1），的敛区也是（1，1），故原级数的敛区为（1，1）当时，原级数为，显然收敛；当时，原级数为，显然发散，故的收敛域为当时，因为，从而 ；当时，所以 8确定级数的收敛域解 该级数为等比级数，且公比，所以收敛域为，故所给级数的收敛域为9求下列各级数的和函数。（1）；解 所设级数的收敛半径，令和函数为，那么 ， （1，1）于是 两边求导数： （2）；解 所设级数的收敛半径，令其和函数为，那么， （1，1）两边求导， 显然，于是两边积分得 ，即因为 在和都收敛，故其和函数在和都连续，故该级数的和函数为 （3）解 该级数的收敛半径，令其和函数为，那么，于是 ，令，（1，1）所以 于是 10求函数的麦克劳林展开式解 因为 又 所以 ，11把函数展开为傅立叶级数，并画出它的和函数的图形解 因为为奇函数，所以 所以当时，当或时，级数和为即在上，该傅立叶级数的和函数为该傅立叶级数的和函数的图形如下：12设周期函数f()在一个周期中的定义为f()= ()，求它的傅立叶级数。解 所以当0x时，当x=o或x=时，级数和为 因为f(x)是以为周期的函数且f (0)=f ()，所以13已知周期函数在一个周期中的定义为：(1) f(x)=sinx, 0x；（2）f(x)=cosx,0x求它们的傅立叶级数。解 (1) 所以当0x时由于f(x)在上连续，且满足狄利克雷收敛充分条件，f(0)=f()且以为周期的周期函数，所以f(x)的傅立叶级数处处收敛，且（2）f(x)=cosx, 0x解 所以当0x时，当x=0或x=时，级数的和为由于f(x)是以为周期的周期函数，且当时，f(x)是连续的，故由狄利克雷收敛的充分条件得当x=nx（n为整数）级数和为0注 14已知，求解若f(x)在为奇函数，则其傅立叶正弦级数为，其中 可知 即解决党委自身和基层党支部存在的的突出问题，发挥各村、社区、机关单位党支部在当前城市征迁、园区建设、招商引资、服务群众、维护稳定的作用，我镇党委高度重视，制定了切合临淮实际的活动实施方案，按照中央规定的活动步骤和要求扎实有效的开展了基层组织建设年活动。15