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二轮复习之三角函数式的化简与求值(基础篇)适用学科高中数学适用年级高三适用区域人教版课时时长(分钟)60知识点1、两角和与差的两角和与差的正弦、余弦和正切公式:2、二倍角公式3、辅助角公式教学目标1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2、能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式3、能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系。教学重点运用公式进行简单的三角恒等变换,对三角式进行简单的三角函数化简、求值和证明教学难点1、 两角和与差的正弦、余弦和正切公式2、 积化和差、和差化积、半角公式教学过程 一、高考解读三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一 通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径,特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧,以优化我们的解题效果,做到事半功倍 二、复习预习默写下面几组公式:1、两角和、差角的余弦公式 2、两角和、差角的正弦公式3、二倍角的正、余弦公式 4、两角和的正切公式5、两角差的正切公式 6、二倍角的正切公式7、合一变换 8、常用公式变形三、知识讲解考点1 1 求值问题的基本类型 (1)给角求值,(2)给值求值,(3)给式求值,(4)求函数式的最值或值域,(5)化简求值 考点2 技巧与方法 要寻求角与角关系的特殊性,化非特角为特殊角,熟练准确地应用公式 注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用 对于条件求值问题,要认真寻找条件和结论的关系,寻找解题的突破口,很难入手的问题,可利用分析法 求最值问题,常用配方法、换元法来解决 四、例题精析例题1 化简下列各式:(1),(2)。 【规范解答】(1)因为,又因,所以,原式=。(2)原式=。【总结与思考】(1)在二倍角公式中,两个角的倍数关系,不仅限于2是的二倍,要熟悉多种形式的两个角的倍数关系,同时还要注意三个角的内在联系的作用,是常用的三角变换。(2)化简题一定要找准解题的突破口或切入点,其中的降次,消元,切割化弦,异名化同名,异角化同角是常用的化简技巧。例题2 不查表求sin220+cos280+cos20cos80的值 【规范解答】解法一 sin220+cos280+sin20cos80= (1cos40)+ (1+cos160)+ sin20cos80=1cos40+cos160+sin20cos(60+20)=1cos40+ (cos120cos40sin120sin40)+sin20(cos60cos20sin60sin20)=1cos40cos40sin40+sin40sin220=1cos40(1cos40)= 解法二 设x=sin220+cos280+sin20cos80y=cos220+sin280cos20sin80,则x+y=1+1sin60=,xy=cos40+cos160+sin100=2sin100sin60+sin100=0x=y=,即x=sin220+cos280+sin20cos80= 【总结与思考】熟知三角公式并能灵活应用 解法一利用三角公式进行等价变形;解法二转化为函数问题,使解法更简单更精妙,需认真体会 例题3 设关于x的函数y=2cos2x2acosx(2a+1)的最小值为f(a),试确定满足f(a)=的a值,并对此时的a值求y的最大值 【规范解答】 由y=2(cosx)2及cosx1,1得 f(a)f(a)=,14a=a=2,+或2a1=,解得a=1,此时,y=2(cosx+)2+,当cosx=1时,即x=2k,kZ,ymax=5 【总结与思考】 二次函数在给定区间上的最值问题 利用等价转化把问题化归为二次函数问题,还要用到配方法、数形结合、分类讲座等 例题4 设函数f(x)=cos2cos+sinrcosx+a(其中0,aR),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为。()求的值;()如果f(x)在区间上的最小值为,求a的值。【规范解答】(I)依题意得 (II)由(I)知,。又当时,故,从而在区间上的最小值为,故【总结与思考】三角函数求值问题例题5 如右图,扇形OAB的半径为1,中心角60,四边形PQRS是扇形的内接矩形,当其面积最大时,求点P的位置,并求此最大面积 【规范解答】以OA为x轴 O为原点,建立平面直角坐标系,并设P的坐标为(cos,sin),则PS=sin 直线OB的方程为y=x,直线PQ的方程为y=sin 联立解之得Q(sin;sin),所以PQ=cossin 于是SPQRS=sin(cossin)=(sincossin2)=(sin2)=(sin2+cos2)= sin(2+) 0,2+ sin(2+)1 sin(2+)=1时,PQRS面积最大,且最大面积是,此时,=,点P为的中点,P() 【总结与思考】三角函数的综合应用问题的考察课程小结1 求值问题的基本类型 给角求值,给值求值,给式求值,求函数式的最值或值域,化简求值 2 技巧与方法 要寻求角与角关系的特殊性,化非特角为特殊角,熟练准确地应用公式 注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用 对于条件求值问题,要认真寻找条件和结论的关系,寻找解题的突破口,很难入手的问题,可利用分析法 求最值问题,常用配方法、换元法来解决
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