第三节平面向量的数量积及应用举例A组基础题组1.已知向量a,b均为单位向量,若它们的夹角是60,则|a-3b|=()A.3B.2C.13D.72.(2018云南第一次统一检测)在ABCD中,|AB|=8,|AD|=6,N为DC的中点,BM=2MC,则AMNM=()A.48B.36C.24D.123.已知平面向量a,b的夹角为6,且|a|=3,|b|=2,在ABC中,AB=2a+2b,AC=2a-6b,D为BC的中点,则|AD|等于()A.2B.4C.6D.84.如图,已知平面四边形ABCD,ABBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记I1=OAOB,I2=OBOC,I3=OCOD,则()A.I1I2I3B.I1I3I2C.I3I1I2D.I2I1I35.设单位向量e1,e2的夹角为23,a=e1+2e2,b=2e1-3e2,则b在a方向上的投影为.6.(2017山东,12,5分)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若3e1-e2与e1+e2的夹角为60,则实数的值是.7.(2017河北石家庄质量检测(一)已知AB与AC的夹角为90,|AB|=2,|AC|=1,AM=AB+AC(,R),且AMBC=0,则的值为.8.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=22,-22,n=(sin x,cos x),x0,2.(1)若mn,求tan x的值;(2)若m与n的夹角为3,求x的值.9.如图,已知O为坐标原点,向量OA=(3cos x,3sin x),OB=(3cos x,sin x),OC=(3,0),x0,2.(1)求证:(OA-OB)OC;(2)若ABC是等腰三角形,求x的值.B组提升题组1.若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a-b的夹角为()A.6B.3C.56D.232.在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=AC-AB(R),且ADAE=-4,则的值为.3.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角;(2)求|a+b|;(3)若AB=a,BC=b,求ABC的面积.4.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos(A-B),sin(A-B),n=(cos B,-sin B),且mn=-35.(1)求sin A的值;(2)若a=42,b=5,求角B的大小及向量BA在BC方向上的投影.答案精解精析A组基础题组1.D(a-3b)2=|a|2-6ab+9|b|2=1-6cos 60+9=7,|a-3b|=7,故选D.2.CAMNM=(AB+BM)(NC+CM)=AB+23AD12AB-13AD=12AB2-29AD2=1282-2962=24,故选C.3.A因为AD=12(AB+AC)=12(2a+2b+2a-6b)=2a-2b,所以|AD|2=4(a-b)2=4(a2-2ba+b2)=43-223cos6+4=4,则|AD|=2.4.C解法一:因为AB=BC,ABBC,BCO=45.过B作BEAC于E,则EBC=45.因为AD45,又BCO=45,BOC为锐角.从而AOB为钝角,所以DOC为钝角.故I10,I30.又OAOC,OB1),OC=-2OA(21),从而I3=OCOD=12OAOB=12I1,又121,I10,I3I10,I3I10,nm.从而DBC45,又BCO=45,BOC为锐角.从而AOB为钝角.故I10,I30.又OAOC,OB1),OC=-2OA(21),从而I3=OCOD=12OAOB=12I1,又121,I10,I30,I3I1,I3I1I2.故选C.5.答案-332解析依题意得e1e2=11cos23=-12,|a|=(e1+2e2)2=e12+4e22+4e1e2=3,ab=(e1+2e2)(2e1-3e2)=2e12-6e22+e1e2=-92,因此b在a方向上的投影为ab|a|=-923=-332.6.答案33解析由题意不妨设e1=(1,0),e2=(0,1),则3e1-e2=(3,-1),e1+e2=(1,).根据向量的夹角公式得cos 60=(3,-1)(1,)21+2=3-21+2=12,所以3-=1+2,解得=33.7.答案14解析根据题意,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(0,2),C(1,0),所以AB=(0,2),AC=(1,0),BC=(1,-2).设M(x,y),则AM=(x,y),所以AMBC=(x,y)(1,-2)=x-2y=0,所以x=2y,又AM=AB+AC,即(x,y)=(0,2)+(1,0)=(,2),所以x=,y=2,所以=12yx=14.8.解析(1)mn,mn=0,故22sin x-22cos x=0,tan x=1.(2)m与n的夹角为3,cos=mn|m|n|=22sinx-22cosx11=12,故sinx-4=12.又x0,2,x-4-4,4,则x-4=6,即x=512,故x的值为512.9.解析(1)证明:OA-OB=(0,2sin x),(OA-OB)OC=03+2sin x0=0,(OA-OB)OC.(2)ABC是等腰三角形,则AB=BC,(2sin x)2=(3cos x-3)2+sin2x,整理得2cos2x-3cos x=0,解得cos x=0或cos x=32.x0,2,cos x=32,x=6.B组提升题组1.D由|a+b|=|a-b|可知ab,设AB=b,AD=a,如图,作矩形ABCD,连接AC,BD,可知AC=a+b,BD=a-b,设AC与BD的交点为O,结合题意可知OA=OD=AD,AOD=3,DOC=23,又向量a+b与a-b的夹角为AC与BD的夹角,故所求夹角为23,选D.2.答案311解析由BD=2DC得AD=13AB+23AC,所以ADAE=13AB+23AC(AC-AB)=13ABAC-13AB2+23AC2-23ABAC,又ABAC=32cos 60=3,AB2=9,AC2=4,所以ADAE=-3+83-2=113-5=-4,解得=311.3.解析(1)因为(2a-3b)(2a+b)=61,所以4|a|2-4ab-3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,所以64-4ab-27=61,所以ab=-6,所以cos =ab|a|b|=-643=-12.又0,所以=23.(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2=42+2(-6)+32=13.所以|a+b|=13.(3)因为AB与BC的夹角=23,所以ABC=-23=3.又|AB|=|a|=4,|BC|=|b|=3,所以SABC=12|AB|BC|sinABC=124332=33.4.解析(1)由mn=-35,得cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-35,所以cos A=-35,因为0Ab,所以AB,且B是ABC一内角,则B=4.由余弦定理得(42)2=52+c2-25c-35,解得c=1,c=-7(舍去),故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cos B=ccos B=122=22.8