1.1 任意角和弧度制典题精讲例1一条弦的长度等于半径r，求:(1)这条弦所对的劣弧长；(2)这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.思路分析：解决此类问题，要首先根据题意画出相关的图形，然后对涉及的量的大小进行确定.由已知可知圆心角的大小为3，然后用公式求解即可. 解：(1)如图1-1-1，因为半径为r的O中，弦AB=r，则OAB为等边三角形，所以AOB=.则弦AB所对的劣弧长为r.图1-1-1(2)SAOB=OAOBsinAOB=r2,S扇形OAB=|r2=r2=6r2,S弓形=S扇形OAB-SAOB=r2-r2=(-)r2.绿色通道：图形的分解与组合是解决数学问题的基本方法之一，本例要把弓形看成是扇形与三角形的差，即可运用已有知识解决要求解的问题.此类数形结合的题目，要尽可能地从图中各种图形的组合关系中找到解决问题的突破口.变式训练 地球赤道的半径是6 370 km,所以赤道上的l弧长是_（精确到0.01 km）.思路解析：由于在弧长公式中圆心角的单位是弧度，所以首先将l化为弧度，还要注意地球赤道的半径就是地球的半径.l=弧度，弧长l=r|=6 3701.85 km.答案：1.85 km例2(2005全国高考卷，1)已知为第三象限角，则所在的象限是（ ）A.第一或第二象限 B.第二或第三象限C.第一或第三象限 D.第二或第四象限思路解析：根据的取值范围，确定的取值范围.因为第三象限角与之间的角并不等价.由在第三象限,应在区间(2k+,2k+)(kZ)内，即 2k+2k+k+22k+34,当k为偶数时，2在第二象限;当k为奇数时，2在第四象限.答案：D绿色通道：（1）由的象限确定2的象限时，应注意2可能不再是象限角，对此特殊情况应特别指出.如=45，2=90就不再是象限角.（2）在本例的基础上，还可以进一步推导出各个象限角的半角范围.可以借助图1-1-2来记忆.图中、分别指第一、二、三、四象限角的半角范围.如：当为第一象限角时，为第一、第三象限角的前半区域；当为第二象限角时，为第一、三象限角的后半区域.依此类推.图1-1-2黑色陷阱：应避免以下错误：由是第二象限角，仅想到90180，由4590得出2为第一象限角，而将中第三象限角丢掉.变式训练1已知单位圆上一点A(1,0)按逆时针方向做匀速圆周运动，1秒钟时间转过（0）角，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟转到与最初位置重合，求角的弧度数.思路分析：这是一个涉及终边相同的角和匀速圆周运动的问题，首先要根据题意画出坐标系，然后按照题中描述表示出角的范围,再进行计算.解：由0，可得022，又因为2在第三象限，所以2.由14=2k(kZ)，可得2=(kZ).所以,即k.所以k=4或5,则=或.变式训练2若锐角的终边与它的10倍角的终边相同，求.思路分析：与角终边相同的角均可以表示为2k+(kZ)的形式，注意题目中说的是锐角.根据题意列出方程解出，这一方法也体现了在三角函数中“方程思想”的应用.解：由题意，有10=2k+(kZ)，=(kZ).又为锐角，所以k可以取1，2两个值,即=40或=80.例3已知扇形的周长为20 cm，当扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？思路分析：根据题中的已知条件，列出扇形的半径、圆心角及周长的关系表达式，然后把扇形的面积表示成半径的函数，利用求函数最值的方法求解. 解：设扇形的圆心角为,半径为r，扇形的弧长l=r.2r+r=20,=.S扇形=r2=r2.=r(10-r)=-r2+10r.当r=5时，S扇形最大=25,此时=2.答：当扇形半径为5，圆心角为2时，扇形面积最大.绿色通道：几何图形求最值的途径有两条：一是利用几何意义，从图形中直接找出（本例不好找）；二是利用函数求解，即设出未知量，建立函数关系式，然后用函数的方法解决.变式训练一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是_弧度，扇形的面积是_.思路解析：设扇形的圆心角是弧度，则扇形的弧长是r，扇形的周长是2r+r.由题意，可知2r+r=r，=-2（弧度）.扇形的面积为S=r2=r2(-2).答案：-2 r2(-2)问题探究问题1在体操、花样滑冰、跳台跳水比赛中，常常听到“转体三周”“转体两周半”的说法，像这种动作名称表示的角是多大？导思：解答此类问题时，要考虑到问题的多种情况，不要上来就盲目地解答，首先对问题有个大体的了解，然后再调动所学知识进行解答，可能起到事半功倍的效果.此题不要忽视了转体的顺、逆方向会影响到角的正、负号.利用角的定义及正角、负角的概念，这个问题迎刃而解.探究：如果是逆时针转体，则分别是3603=1 080和3602.5=900；若是顺时针转体，则分别为-1 080和-900. 问题2在弧度制下，角与角的终边一般具有什么关系，我们可否分别探究出它们应该满足的条件呢？导思：在弧度制下，角与角的终边一般具有以下6种关系：(1)关于x轴对称；(2)关于y轴对称；(3)关于y=-x对称； (4)关于y=x对称；(5)在同一条直线上；(6)互相垂直.结合图形，我们可以探究出它们应满足的条件.探究：(1)若与终边关于x轴对称,则+=2k(kZ)；(2)若与终边关于y轴对称,则+=(2k+1)(kZ)；(3)若与终边关于y=-x对称,则+=(2k+)(kZ);(4）若的终边与的终边关于y=x对称，则+=2k+(kZ)；(5)若与终边在同一直线上，则-=2k(kZ);(6)若的终边与的终边互相垂直，则-=2k(kZ).3