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求轨迹方程的常用方法一、求轨迹方程的注意事项:1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中,发现动点P的运动规律, 即P点满足的等量关系,因此要学会动中求静,变中求不变。来表示,若要判断轨迹方程表示何种曲线,则往往需将参数方程化为普通 方程。3. 求出轨迹方程后,应注意检验其是否符合题意,既要检验是否增解(即以 该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上),又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)。出现增解则要舍去,出现丢解,则需补充。检验方法:研究运动中的特殊情形或极端情形。一般画出所求轨迹,这样更易于检查是否有不合题意的部分或漏掉的部分。 二、常用方法及例题 1.用定义法求曲线轨迹(也叫待定系数法) 如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义,则可先设出轨迹方程,再根据已知条件,待定方程中的常数,即可得到轨迹方程。【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。(1) 圆:到定点的距离等于定长(2) 椭圆:到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)(3) 双曲线:到两定点距离之差的绝对值为常数(小于两定点的距离)(4) 抛物线:到定点与定直线距离相等例1:已知的顶点A,B的坐标分别为(-4,0),(4,0),C 为动点,且满足求点C的轨迹。【解析】由可知,即,满足椭 圆的定义。令椭圆方程为,则, 则轨迹方程为(,图形为椭圆(不含左,右顶点)。【变式1】: 1:已知圆的圆心为M1,圆的圆心为M2, 一动圆与这两个圆外切,求动圆圆心P的轨迹方程。解:设动圆的半径为R,由两圆外切的条件可得:,。 。动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支,c=4,a=2,b2=12。故所求轨迹方程为2:一动圆与圆O:外切,而与圆C:内切,那么动圆的圆心M的轨迹是:A:抛物线B:圆 C:椭圆 D:双曲线一支【解答】令动圆半径为R,则有,则|MO|-|MC|=2,满足双曲线定义。故选D。2.用直译法求曲线轨迹方程如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断,但点P满足的等量关系易于建立,则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系,再用点P的坐标(x,y)表示该等量关系式,即可得到轨迹方程。例2: 一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,求AB中点M的轨迹方程?解 设M点的坐标为 由平几的中线定理:在直角三角形AOB中,OM=M点的轨迹是以O为圆心,a为半径的圆周.【点评】此题中找到了OM=这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有下列几种情况:1)代入题设中的已知等量关系:若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出,则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。2)列出符合题设条件的等式:有时题中无坐标系,需选定适当位置的坐标系,再根据题设条件列出等式,得出其轨迹方程。3)运用有关公式:有时要运用符合题设的有关公式,使其公式中含有动点坐标,并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。4)借助平几中的有关定理和性质:有时动点规律的数量关系不明显,这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等,从而分析出其数量的关系,这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.【变式2】: 动点P(x,y)到两定点A(3,0)和B(3,0)的距离的比等于2(即),求动点P的轨迹方程?【解答】|PA|=代入得化简得(x5)2+y2=16,轨迹是以(5,0)为圆心,4为半径的圆.来源:学。科。网Z。X。X。K。X。X。K例3过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程。(可用直译法和参数法)分析1:利用PAB为直角三角形的几何特性:解法1:设M(x,y),连结MP,则A(2x,0),B(0,2y), l1l2,PAB为直角三角形 化简,得x2y50,此即M的轨迹方程。分析2:设M(x,y),由已知l1l2,联想到两直线垂直的充要条件:k1k21,即可列出轨迹方程,关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。事实上,由M为AB的中点,易找出它们的坐标之间的联系。解法2:设M(x,y),M为AB中点,A(2x,0),B(0,2y)。 又l1,l2过点P(2,4),且l1l2 PAPB,从而kPAkPB1, 注意到l1x轴时,l2y轴,此时A(2,0),B(0,4) 中点M(1,2),经检验,它也满足方程x2y50 综上可知,点M的轨迹方程为x2y50。分析3:从运动的角度观察发现,点M的运动是由直线l1引发的,可设出l1的斜率k作为参数,建立动点M坐标(x,y)满足的参数方程。3.用参数法求曲线轨迹方程如果采用直译法求轨迹方程难以奏效,则可寻求引发动点P运动如果采用直译法求轨迹方程难以奏效,则可寻求引发动点P运动的函数关系,进而通过消参化为轨迹的普通方程F(x,y)0。此类方法主要在于设置合适的参数,求出参数方程,最后消参,化为普通方程。注意参数的取值范围。例3过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程。(可用直译法和参数法)解法3:设M(x,y),设直线l1的方程为y4k(x2),(k) M为AB的中点, 消去k,得x2y50。 另外,当k0时,AB中点为M(1,2),满足上述轨迹方程; 当k不存在时,AB中点为M(1,2),也满足上述轨迹方程。 综上所述,M的轨迹方程为x2y50。【点评】解法1,2为直译法,运用了 kPAkPB1这些等量关系。解法3用了参数法,消参时应注意取值范围。用参数法求解时,一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量,如时间,速度,距离,角度,有向线段的数量,直线的斜率,点的横,纵坐标等。也可以没有具体的意义,选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响。4.用代入法等其它方法求轨迹方程(也叫相关点法) 如果动点P的运动是由另外某一点P的运动引发的,而该点的运动规律已知,(该点坐标满足某已知曲线方程),则可以设出P(x,y),用(x,y)表示出相关点P的坐标,然后把P的坐标代入已知曲线方程,即可得到动点P的轨迹方程。例4. 轨迹方程。 分析:题中涉及了三个点A、B、M,其中A为定点,而B、M为动点,且点B的运动是有规律的,显然M的运动是由B的运动而引发的,可见M、B为相关点,故采用相关点法求动点M的轨迹方程。 【解析】设动点M的坐标为(x,y),而设B点坐标为(x0,y0) 则由M为线段AB中点,可得 即点B坐标可表为(2x2a,2y) 【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系5.几何法若所求的轨迹满足某些几何性质(如线段的垂直平分线,角平分线的性质等),可以用几何法,列出几何式,再代入点的坐标较简单。例5.若圆C与两圆外切,则圆C的圆心轨迹l的方程是变式:已知两点给出下列曲线方程:;,在曲线上存在点P满足的所有曲线方程是( )A B C D 【点评】垂直平分线上的点到线段两端的距离相等【解答】: 要使得曲线上存在点P满足,即要使得曲线与MN的中垂线有交点.把直线方程分别与四个曲线方程联立求解,只有无解,则选D6:交轨法:在求动点轨迹时,有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题,这 类问题通常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标,再消去参数求得所求的轨迹方程(若能直接消去两方程的参数,也可直接消去参数得到轨迹方程),该法经常与参数法并用。例6.两条直线与的交点的轨迹方程是 .【解答】:直接消去参数即得(交轨法):7.常见错误:【例题】中,B,C 坐标分别为(-3,0),(3,0),且三角形周长为16,求点A的轨迹方程。【常见错误】由题意可知,|AB|+|AC|=10,满足椭圆的定义。令椭圆方程为,则由定义可知,则,得轨迹方程为【错因剖析】ABC为三角形,故A,B,C不能三点共线。【正确解答】ABC为三角形,故A,B,C不能三点共线。轨迹方程里应除去点,即轨迹方程为【总结】1:在求轨迹方程中易出错的是对轨迹纯粹性及完备性的忽略,因此,在求出曲线方程的方程之后,应仔细检查有无“不法分子”掺杂其中,将其剔除;另一方面,又要注意有无“漏网之鱼”仍逍遥法外,要将其“捉拿归案”。2:求轨迹时方法选择尤为重要,首先应注意定义法,几何法,直译法等方 法的选择。3:求出轨迹后,一般画出所求轨迹,这样更易于检查是否有不合题意的部 分或漏掉的部分。针对性练习:1:已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的弦0A,则弦的中点M的轨迹方程是 .【解答】:令M点的坐标为(,则A的坐标为(2,代入圆的方程里面得:2:点M到点F(4,0)的距离比它到直线的距离小1,则点M的轨迹方程为_。【解答】:依题意,点M到点F(4,0)的距离与它到直线的距离相等。则点M的轨迹是以F(4,0)为焦点、为准线的抛物线。故所求轨迹方程为。3:求与两定点距离O(0,0),A(3,0)的比为1:2的点的轨迹方程为_【解答】:设是所求轨迹上一点,依题意得由两点间距离公式得:化简得:4.抛物线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)与抛物线交于A、B两点,动点C在抛物线上,求ABC重心P的轨迹方程。【解答】:因点是重心,则由分点坐标公式得:即由点在抛物线上,得:将代入并化简,得:(5.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(,0),直线y=x1与其相交于M、N两点,MN中点的横坐标为,求此双曲线方程。【解答】:设双曲线方程为。将y=x1代入方程整理得。由韦达定理得。又有,联立方程组,解得。此双曲线的方程为。6.过原点作直线l和抛物线交于A、B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程。 【解答】:由题意分析知直线l的斜率一定存在,设直线l的方程y=kx。把它代入抛物线方程,得。因为直线和抛物线相交,所以0,解得。设A(),B(),M(x,y),由韦达定理得。由消去k得。又,所以。点M的轨迹方程为。 - 9 -
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