第七章 动力学与振动,7.1 轨迹 7.2 单自由度系统 7.3 多自由度系统,第7章 振动,7.1 轨迹,举例说明:重力场中有两个物体,其中质量为m2的物体固定,而质量为m1的物体绕m2做平面圆周运动。做圆周运动的m1物体的轨道半径用变量r表示,角度用变量表示。,两物体系统,卫星绕地球转动时，m2等于地球的质量，m1等于卫星的质量，r为卫星球心与地球球心间的距离。其运动轨迹由下列方程组决定：,引入状态变量:,第7章 振动,建立函数文件orbit.m function xd=orbit(t,x) xd=x(2);x(1)*x(4)2-4.0*pi2/x(1)2; x(4);-2.0*x(2)*x(4)/x(1); 三组初始条件(t=0)：,由初始条件建立执行文件menu71.m initcond=2 0 0 1.5;1 0 0 2*pi;2 0 0 4; tspan=linspace(0,5,1000); options=odeset(RelTol,1e-6,AbsTol,1e-6 1e-6 1e-6 1e-6); lintype=-. -. -.; for i=1:3 t,x=ode45(orbit,tspan,initcond(i,:),options); polar(x(:,3),x(:,1),lintype(2*(i-1)+1:2*i); hold on end text(0.5,-1.2,椭圆轨迹); text(-1.2,1,圆轨迹); text(1.75,2,双曲线轨迹);,第7章 振动,运行结果,第7章 振动,第7章 振动,7.2 单自由度系统,一、概述,1、力学模型,其中：振体质量为m，弹簧的线性系数为k，非线性系数为， 阻尼系数为c，外力F(t）。,弹簧质量阻尼系统,2、运动微分方程,第7章 振动,用x表示系统的位移，则运动微分方程为：,引入新变量转化状态空间方程形式：,二、线性系统的自由振动,1、运动微分方程,当线性项为0时，得到线性振动系统的自由振动方程。,2、MATLAB求解,对应的函数文件FreeOcillation.m function xdot=FreeOcillation(t,x,dummy,zeta) xdot=x(2);-2.0*zeta*x(2)-x(1);,第7章 振动,三种阻尼系数（1）阻尼系数为0.1时是欠阻尼情况；（2）阻尼系数为1时是临界阻尼情况；（3）阻尼系数为5时是过阻尼情况。,由初始条件（位移和速度均为1时）建立执行文件menu72.m zeta=0.1 1.0 5.0; tspan=linspace(0,40,400); lintype=-b -r -r; for i=1:3 t,x=ode45(FreeOcillation,tspan,1 1,zeta(i); subplot(2,1,1); plot(t,x(:,1),lintype(2*(i-1)+1:2*i); hold on subplot(2,1,2); plot(x(:,1),x(:,2),lintype(2*(i-1)+1:2*i); hold on end subplot(2,1,1);,第7章 振动,xlabel(Time( tau); ylabel(Displacement x( tau); title(Displacement as a function of( tau); axis(0 40 -2.0 2.0); text(2.7,-1.3,阻尼系数=0.1); text(3.6,-0.1,1.0); text(3.6,1.0,5.0); subplot(2,1,2); xlabel(Displacement); ylabel(Velocity); title(Phase portrait); axis(-2.0 2.0 -2.0 2.0); text(0.7,-1.25,阻尼系数=0.1); text(0.8,-0.65,1.0); text(0.8,0.1,5.0);,运行结果,第7章 振动,第7章 振动,三、线性系统的强迫振动,1、运动微分方程,2、MATLAB求解,对应的函数文件ForceOcillation.m function xdot=ForceOcillation(t,x,dummy,zeta,Omega,x0) xdot=x(2);-2.0*zeta*x(2)-x(1)+x0*cos(Omega*t);,为了获得频谱图,建立函数文件AmplitudeSpectrum.m functionf,amplitude=AmplitudeSpectrum(yy,Fs,Nstart,N); f=(Fs*(0:N-1)/N)*2.0*pi; amplitude=abs(fft(yy(Nstart:Nstart+N),N)/N; 采样速率30/6000=0.005,则采样频率1/0.005=200,这个频率远远超出了必须达到的采样频率,结果显示截短频谱图,需设置Nstart=3200,N=211=2048。,t = 0:0.001:0.6; x = sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*120*t); y = x + 2*randn(size(t); plot(y(1:50) title(Signal Corrupted with Zero-Mean Random Noise) xlabel(time (seconds),第7章 振动,fft的应用,Fft变换程序,Y = fft(y,512); Pyy = Y.* conj(Y) / 512; f = 1000*(0:256)/512; plot(f,Pyy(1:257) title(Frequency content of y) xlabel(frequency (Hz),第7章 振动,时域运行结果,频域运行结果,编制执行文件menu72f.m zeta=0.4;Omega=3.0;x0=50; tspan=linspace(0,30,6000); options=odeset(RelTol,1e-8,AbsTol,1e-8); lintype=-b; t,x=ode45(ForceOcillation,tspan,0 0,options,zeta,Omega,x0); subplot(2,1,1); plot(t,x(:,1); axis(0 30 -8 8); hold on subplot(2,1,2);,第7章 振动,yy=x(:,1); N=2048;Nstart=3200;Fs=200; f,Amplitude=AmplitudeSpectrum(yy,Fs,Nstart,N); semilogy(f(1:40),2*Amplitude(1:40); xlabel(Frequency); ylabel(Amplitude); title(Response spectrum of a linear system); hold on subplot(2,1,1); xlabel(Time( tau); ylabel(Displacement x( tau); title(Response of a linear system); hold on,第7章 振动,运行结果,第7章 振动,频率响应 阶跃响应 脉冲响应,Bode函数: g = tf(1 0.1 7.5,1 0.12 9 0 0); bode(g),第7章 振动,第7章 振动,bode(g,0.1 , 100),nyquist(g),impulse(g) 脉冲响应,step(g) 阶跃响应,一、建立系统的运动微分方程,1.用刚度影响系数法建立振动微分方程,可简写为,第7章 振动,7.3 自由振动模态及固有频率,例：三质量m1，m2，m3串联于弹簧k1，k2，k3上，试列出自由振动微分方程。,解：求刚度系数。 给x1以单位位移，x2与x3保持不动，即x1=1，x2=x3=0； 要产生这样的位移状态，在各点加的力就是k11，k21，k31，显然有： k11=k1+k2，k21=k2，k31=0（得到第一列） 再令x2=1，x1=x3=0， 则有 k12=k2，k22=k2+k3，k32=k3,第7章 振动,于是得到刚度矩阵：,由于系统有对应于广义坐标x1，x2，x3的集中质量，故质量矩阵是对角阵，于是得到自由振动微分方程：,第7章 振动,2.用柔度影响系数法建立振动微分方程,柔度影响系数法就是力法，它所建立方程是各点的位移协调方程。柔度影响系数cij定义：在j点作用有单位力，而其他各点没有力，所引起i点的位移。,从右图看出，当j点作用单位力时，在梁上各点产生的位移c1j，c2j，cij，cnj。我们暂时不管其他点，只研究i点引起位移cijPj。,同样，在1点加力P1，在i点产生位移ci1P1；,这就是i点的位移协调方程，用同样方法可以得到梁上各点的位移协调方程：,设在力系P1，P2Pn作用下i点的位移是yi，那么必有：,同样，在2点加力P2，在i点产生位移ci2P2；,同样，在j点加力Pj，在i点产生位移cijPj；,同样，在n点加力Pn，在i点产生位移cinPn；,第7章 振动,写成矩阵形式：,（1）,其中,称为柔度矩阵。由功的互等定理可知cij=cji，因此c是对称矩阵。我们前边讲过，自由振动时 ，即,第7章 振动,于是（1）式可写成：,此即用柔度影响系数法建立的多自由度系统自由振动微分方程。,或简写成：,（2）,第7章 振动,讨论 ：,就是说，刚度矩阵和柔度矩阵是互为逆矩阵。,1、（2）式可写成,等式两边同乘 ，则,即,与前边得到的 比较，可见：,按逆阵性质：,第7章 振动,2、方程（2）与建立的方程形式不同，实质是一样的。,解：首先计算柔度系数，用莫尔法：,例：一悬臂梁，固定三个集中质量，梁的抗弯刚度EI为常数，梁质量不计，求：试用柔度系数法列微分方程。,(单位：长度/力),注：1、Mi在i加单位力的弯矩方程，Mj在j加单位力的弯矩方程；2、原公式中 号指弯矩方程不连续时，分段积分后求和。,第7章 振动,于是：,第7章 振动,故柔度矩阵为,即,自由振动微分方程：,第7章 振动,关于固有频率及固有振型的概念，我们已经学习过。研究多自由度系统的这些固有特征时, 采用矩阵为数学工具。,二、固有频率与固有振型,注意:对于一个正定系统（即系统没有刚体位移），用上述各种方法建立微分方程都可以，有时用柔度系统法更为方便；但对于半正定系统（系统有刚体位移），则柔度系统没有意义（加单位力后系统不能维持平衡而产生刚体运动），只能用形如My+ky=0那样的方程。,第7章 振动,对于有n个自由度q1，q2qn的系统，其自由振动微分方程的一般形式是：,或写成矩阵形式,这是一组二阶常系数、线性常微分方程。设系统偏离平衡位置作自由振动时，存在各qi按同一频率，同一相位作简谐振动的特解：,（1）,第7章 振动,这是一组关于振幅A1，A2An的线性齐次代数方程组，要使A1，A2An有非零解（零解对应不振动），必有系数行列式为零，即：,代入方程组（1），消去公因子 后，得,（2）,或,第7章 振动,或,此即多自由度系统的特征方程（或称频率方程）,在这个方程中，kij，mij都是已知的，未知的只有，展开后是一个关于2的n次代数方程，从中可以求得2