A卷 20122013学年第一学期线性代数答案及评分标准 专业班级 姓 名 学 号 开课系室 基础数学系 考试日期 2013年1月16日 页 号一二三四五六总分本页满分152124161212本页得分阅卷人注意事项：1请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3本试卷共六道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共6页.本页满分15分本页得分一选择题（共5小题，每小题3分，共计15分）1已知五阶行列式第三列的元素分别为0，1，2，3，4，第三列的余子式分别为-4，-3，-2，-1,0，则该行列式的值为（ B ）A. -2 B. 2 C. 10 D. -10 .2已知方阵满足，则下列说法错误的是（ D ）A可逆； B可逆； C可逆； D. 不可逆.3含n个未知量的齐次方程组有非零解的充分必要条件是（ A ）A；B；C；D.4.下列不属于等价关系的是（ B ）A矩阵的初等变换； B矩阵的可逆；C. 矩阵的相似； D矩阵的合同.5. 设向量组线性无关，向量可以由线性表示，向量不能由线性表示，则 ( A )A 线性无关； B 线性相关；C 线性无关； D 线性相关.二填空题（共5小题，每小题3分，共计15分）本页满分21分本页得分1设= 44(=256 ) .2设四阶矩阵与相似，为四阶单位阵，矩阵的特征值为2,3,4,5，则 24 .3设矩阵则= .4. 设三阶方阵三维列向量，已知与线性相关，则 -1 .5. 从的基到基的过渡矩阵为.三、论述证明题（6分）请问等价的向量组线性相关性一定相同吗？若答案肯定，请给出证明；否则请说明理由或举出反例.答：不一定. (4)例如，向量组与其最大无关组等价，但线性相关性不一定相同. (6)四计算下列各题（共5小题，每小题8分，共计40分）本页满分24分本页得分1. 计算行列式D = .（8分）解：将行列式的 2、3、4列都加到第一列，然后第一列提出公因子，得 D = (4)将第一列乘以（2）后加到其余各列，得 D = (8)2.设矩阵,求矩阵.（8分）解：由，得： (4)验证知矩阵是可逆的，所以 (8)3设矩阵有3个线性无关的特征向量,2是的二重特征值，求，. （8分） 解：由已知，得 (4)又因为，故. (8)本页满分16分本页得分4.设向量组， 求该向量组的秩和一个最大无关组.（8分）解： 记 (4)故知：向量组的秩为 3，(6) 是一个最大无关组. (8) 5.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它的三个解向量，且，求该方程组的通解.（8分）解：易知， 是该方程组的导出组的一个基础解系，(4)则该方程组的通解为： (8)本页满分12分本页得分五、（12分）设有三维向量组问取何值时，（1）可由线性表示，且表达式唯一？（2）可由线性表示，但表达式不唯一？（3）不能由线性表示？解：设，该方程组的增广矩阵为 (6) （1） 当时，方程组有唯一解，则可由线性表示，且表达式唯一； (8) （2） 当时，方程组有无穷多解，则可由线性表示，但表达式不唯一； (10) （3） 当 时，方程组无解，则不能由线性表示。 (12)本页满分12分本页得分六、（12分）设二次型，其中二次型的矩阵的特征值之和为1，特征值之积为-12.（1） 求的值；（2） 利用正交变换将此二次型化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.解：(1) 的矩阵为，由已知 (2)所以 . (4)(2) 的矩阵为,特征多项式为：特征值为：。 (6)对于，解齐次线性方程组，得特征向量对于，解齐次线性方程组，得特征向量 (8)容易验证是正交向量组，单位化得 (10)故所求正交变换为：，其中，正交变换矩阵为：标准型为： (12)氨氧化催化剂往往亦可用作醛类氧化催化剂,其原因是由于这两类反应通过类似的历程,形成相同的氧化中间物之故。上列反应中以丙烯氨氧化合成丙烯腈最为重要,下面即以此反应为例进行讨论。7 页共6页 第