流体力学（二）,主讲教师：宗 智 孙 雷,船舶与海洋工程,船舶工程学院,内流问题：出入口的速度和压强分布已知 （一般由实验测得） 外流问题：无穷远处的速度和压强分布已知。 两种流体交界面：界面上的速度、压强和粘性切应力应连续。,边界条件 固体边界 粘性流体：必须满足固壁面不滑移条件（或速度连续条件） 无粘流体：无需满足不滑移条件，但法向速度仍应连续。,B3.5 边界条件与初始条件,两种流体交界面应满足的边界条件为：,初始条件 对定常流动，无初始条件； 对于非定常流动应知道初始时刻的速度和压强分布。,B3.5 边界条件与初始条件,B3.6 压强场,压强在流体运动、流体与固体相互作用中扮演重要角色，如机翼升力、高尔夫球及汽车的尾流阻力都与压强有关，龙卷风产生强大的负压强作用，液压泵和压缩机推动流体做功是正压强作用的结果。,B3.6.1 静止重力流体中的压强分布,均质流体压强一般表达式,静止流体中无惯性力和粘性力，体积力为重力，由N-S方程可得,前两式表明p与x y无关，对均质流体（ =常数）， 由第三式积分可得：,上式表明静止流体中的压强沿垂直坐标为线性分布， 常数c由边界条件决定。,公式 常用来表示具有自由液面的液体内的压强分布。,均质液体压强公式,静止液体中的压强分布示意图,B3.6.1 静止重力流体中的压强分布,设自由液面的坐标为z0 ，压强为p0，可得：,在工程上通常用自由液面下的深度（称为淹深）h=z0-z, 表示一点的垂直位置(右图)，则上式可改写为,上式称为匀质静止液体中的压强公式，它表明,在垂直方向，压强与淹深成线性关系； 在水平方向（h=常数），压强为常数，水平面是等压强面，简称等压面。,B3.6.2 压强计示方式与单位,压强计示方式,压强公式 可作为压强计算的基础，其中 为基准压强。,两个基准：绝对真空（ ）和当地大气压（ ） 三种计示方式： 绝对压强（ ）：相对于绝对真空计量之值（ ），标注为（ab） 表压强（ ）：相对于当地大气压计量之值（当低于 时为负），标注为（g） 真空度（ ）：当表压强为负时，取其绝对值（ ），标注为（v）,约定：除特别说明外，压强均以表压强计算。,压强单位,B3.6.2 压强计示方式与单位,国际单位制（SI）：帕斯卡（Pa），,1 Pa = 1 N/m2 , 1 kPa = 103 N/m2 , 1 MPa = 106 N/m2,物理单位制（cgs）：毫米汞柱（mmHg）,单位制,B3.6.3 运动流体中的压强分布,运动流体中，影响压强分布的因素除体积力外，还有惯性力和粘性力等。,例一：圆柱绕流 惯性力和粘性力的影响,设流体对圆柱作定常平面绕流，圆柱表面的压强分布在无粘性流体和粘性流体中有不同的概念，设压强系数为,式中p为圆柱面上压强，p0，v0 为无穷远处压强和速度。,图b为粘性流体绕流时（Re=105），由于边界层分离在圆柱后部形成尾流区（见动画），前后压强分布不对称，作用在圆柱上的压强合力不为零，形成压差阻力。,图a为无粘性流体绕流的压强系数分布图，为前后对称分布；B、D点是最大正压强点（驻点），C、E点是最大负压强点，作用在圆柱上的压强合力为零（达朗贝尔佯谬）。,B3.6.3 运动流体中的压强分布,机翼上下表面压强分布示意图，下表面以正压强为主，上表面以负压强为主，压强合力形成升力。,NACA标准翼型（2412）在攻角分别为7.4度和2.8度时的压强系数分布图，可见主要以上表面负压强为主。,例二：机翼绕流,B3.6.3 运动流体中的压强分布,在风洞里沿轿车中剖面测量的压强系数分布图，可见除迎风面为正压强外，其他部位大多是负压强。,例三：汽车绕流,B3.6.3 运动流体中的压强分布,B4.1 流体系统的随体导数 B4.2 积分形式的连续性方程 B4.3 伯努利方程及其应用 B4.4 积分形式的动量方程及其应用 B4.5 积分形式的动量矩方程 B4.6 积分形式的能量方程,B4 积分形式的基本方程,B4 积分形式的基本方程,积分形式的流体力学基本方程描述空间有限体积域上的流体运动规律，主要涉及流体质量、动量 、动量矩和能量等物理量在有限体积域上的积分值（广延量）随时间和位置的变化规律，它在工程上有广泛应用。 主要内容：流体系统的随体导数；积分形式的连续性方程、动量方程、动量矩方程和能量方程及其应用，伯努利方程及其应用等。,重点：（1）有限控制体分析，输运公式； （2）有多个一维出入口的控制体上的连续性方程； （3）伯努利方程； （4）有多个一维出入口的控制体上的定常动量方程等。,类似于流体质点的随体导数（质点导数）概念，用控制体上的欧拉坐标表示流体系统的随体导数，关系式为：,B4.1 流体系统的随体导数,表示系统与控制体重合时系统广延量对时间的随体导数，又称系统导数；,表示控制体广延量随时间的变化率，又称当地变化率，反映流场的不定常性（定常时为零）；,表示通过控制面净流出控制体的广延量流量，又称为迁移变化率，反映流场的不均匀性（均匀时为零）。,定常流场输运公式 上式表明在定常流场中，当系统与控制体重合时，系统广延量的变化只取决于控制面上的流动，与控制体内的流动无关（见下图）。,B4.1 流体系统的随体导数,B4.2 积分形式的连续性方程,上式称为积分形式的连续性方程，适用于任何流体的定常和不定常流动。,设 ，系统质量为,根据质量守恒定律：,由输运公式可得：,上式表明：通过控制面净流出的质流量等于控制体内流体质量随时间的减少率。,B4.2.1 固定控制体,不可压缩流体,实际上，对固定不变形的控制体，上面式子中的当地项中微分和积分运算可变换，迁移项中 为绝对速度。,当密度为常数时，式中当地项为零，迁移项中密度项可消去，得,上式的物理意义是：对不可压缩流体的流动，从任何固定不变形的控制面净流出的体积流量恒为零。,对不可压缩流体一维流管流动,B4.2.1 固定控制体,令截面1,2上的流量大小分别为Q1, Q2，由流量公式可得,由平均速度公式可得,早在16世纪初，达.芬奇就发现了这一规律。,B4.2.1 固定控制体,若控制面上有多个出入口，设出入口的流量大小为Qout, Qin，由前面的公式可得,思考题：,对于连续性方程： 的说法，下列哪个是对的（ ）,（A）仅适用于不可压缩流体的定常流动的； （B）也适用于不可压缩流体的不定常流动； （C）适用于任何流体的定常流动。,B4.2.1 固定控制体,可压缩流体定常运动,B4.2.1 固定控制体,对密度可变流体的定常流动，可得,上式的物理意义是：对可压缩流体定常流动，从任何固定不变形的控制面净流出的质流量恒为零。,对一维流管流动，设出入口的质量流量大小分别为 和 ，从质量流量公式可得,B4.2.1 固定控制体,对有多个出入口的控制面上的定常流动，由前面的公式可得,例题B4.2.1：主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程,已知：下图是人主动脉弓模型示意图。血液从升主动脉1经主动脉弓流向降主动脉5，方向改变约180，主动脉弓上分支出头臂干动脉2，左颈总动脉3和左锁骨下动脉4。设所有管截面均为圆形，管直径分别为d1=2.5cm, d2=1.1cm, d3=0.7cm, d4=0.8cm, d5=2.0cm。已知平均流量分别为Q1=6 L/min, Q3= 0.07Q1, Q4 = 0.04Q1, Q5= 0.78Q1。 试求：(1)管2的平均流量Q2； (2)各管的平均速度（用cm/s表示）。,解：由取图中虚线所示控制体，有多个出入口。血液按不可压缩流体处理，由式,Qout=Qin,Q1 = Q2 + Q3 + Q4 + Q5,例题B4.2.1：主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程,（1）管2的流量为,Q2 = Q1(Q3 + Q4 + Q5) = Q1(0.07+0.04+0.78)Q1 = 0.11Q1= 0.66 L/min,（2）各管的平均速度为,B4.2.2 运动控制体,无论是惯性系还是非惯性系，只要将迁移项中的速度改为相对于控制体的相对速度，即可得运动控制体形式的连续性方程：,对具有多个一维出入口的定常流动为,上两式常在旋转控制体（如流体机械）中运用。,思考题：,所谓非惯性系是仅指：,（A） 做加速运动的控制体； （B） 做匀角速度旋转的控制体； （C） 做非匀角速度旋转的控制体； （D） 包括以上三个答案。,B4.2.2 运动控制体,相对于惯性系（静止或匀速运动的参考系）加速运动的参考系称为非惯性系参考系。地球有自转和公转，我们在地球上所观察到的各种力学现象，实际上是非惯性系中的力学问题。,已知：下图为洒水器示意图。臂长R=150mm，喷水管面积A=40mm2，喷口偏转角 水从中心转轴底部流入，总流量Q=120mL/s，从两喷口流出。喷管角速度为=500转/分 求：（1）管内水流的相对速度Vr。 （2）管口水流的绝对速度V。,解：取包围喷管，并与喷管一起旋转的控制体，如图中虚线所示。对站在控制体上的观察者而言，水以速度Vr沿两支喷管做定常直线流动。由下式：,例题B4.2.2：洒水器：运动控制体连续性方程,可得,水为不可压缩流体 ，且 ，由两臂对称方程 ，上式化为： 管内相对速度为： 喷口的牵连速度为： 由喷口的速度矢量合成，绝对速度为：,例题B4.2.2：洒水器：运动控制体连续性方程,B4.3 伯努利方程及其应用,伯努利方程首次以动能与压强势能相互转换的形式确定了流体运动中速度与压强之间的关系。,伯努利方程由伯努利（D.Bernouli，1738）首先提出，后来由欧拉（L.Euler）完善其理论推导过程。,B4.3.1 沿流线的伯努利方程,沿流线的欧拉运动方程,在无粘性流体的重力流场中沿流线S取一圆柱形体积元控制体（如图）,控制元长s, 端面面积为A; 两端面上的压强分别为p和p + p,重力为gAs, 在流线切线方向（即速度方向）运用牛顿第二定律可得,整理后取极限可得：,B4.3.1 沿流线的伯努利方程,由几何关系,将流体元的加速度表达为欧拉形式,代回原式得：,式中 s为流线坐标，z为高度坐标，p为圆柱形体积元端面压强， v为圆柱形体积元速度。,B4.3.1 沿流线的伯努利方程,将上式沿流线积分，可得：,常数（沿流线）,上式为无粘流体沿流线作不定常运动时的积分方程。,上式为无粘流体沿流线运动的微分方程，又称一维欧拉运动方程。,伯努利方程及其限制条件,当无粘性不可压缩流体沿流线做定常运动时，一维欧拉方程沿流线的积分形式可化为：,伯努利方程的限制条件： 定常流动； 无粘流体（忽略粘性影响）； 不可压缩流体； 沿流线。,B4.3.1 沿流线的伯努利方程,上式称为伯努利方程,式中c为常数。,伯努利方程的物理意义,表示单位质量流体的动能、位能和压能之和沿流线保持常数，即：,表示单位质量流体所具有的动能 表示单位质量流体所具有的位置势能 表示单位质量流体所具有的压强势能 表示单位质量流体所具有的总能（常数）,动能+位能+压能=常数,B4.3.1 沿流线的伯努利方程,伯努利方程是无粘性不可压缩流体在重力场中沿流线作定常流动时的机械能守恒方程。,思考题：,伯努利方程的限制条件是：定常无粘性不可压缩和沿流线。实际上在推导伯努利方程过程中未言明的还包括以下条件：（ ）,（A）无旋流动； （B）等熵流动； （C）无机械能输入输出。,B4.3.1 沿流线的伯努利方程,B4.3.1 沿流线的伯努利方程,伯努利方程的条件虽然苛刻，但揭示的规律可应用于实际流动中去，例如解释河道流动规律，虹吸管原理及机翼升力产生原因等。,已知：流体密度为，U形管内液体密度为m，液位差读数为 h 求：来流速度v与这些参数的关系式。,例题B4.3.1 皮托测速管：总压强与动压强,说明：皮托测速管