4.1.2 圆的一般方程,二、导入新课 1、想一想，若把圆的标准方程 展开后，会得出怎样的形式？,（a,b,r均为常数）,所以，任何一个圆方程可以写成下面形式：,x2 y 2DxEyF0,探究：是不是任何一个形如 x2 y 2DxEyF0 方程表示 的曲线都是圆呢？,例如（1）x2+y2-2x+4y-4=0,（2）x2+y2-2x+4y+5=0,（3）x2+y2-2x+4y+6=0,叫做圆的一般方程,配方可得：,（3）当D2+E2-4F0时，方程（1）无实数解，所以 不表示任何图形。,（1）当D2+E2-4F0时，表示以（ ） 为圆心，以( ) 为半径的圆,（2）当D2+E2-4F=0时，方程只有一组解X=-D/2 y=-E/2，表示一个点（ ）,探究,圆的一般方程：,x2 y 2DxEyF0,思考：圆的一般方程与标准方程的关系：,（D2+E2-4F0）,（1）a=-D/2，b=-E/2，r=,没有xy这样的二次项,（2）标准方程易于看出圆心与半径,一般方程突出形式上的特点：,x2与y2系数相同并且是1；,圆的 标准方程:,(x-a)2+(y-b)2=r2,例1.若方程x2+y2+2mx2y+m2+5m=0表示圆，求： （1）实数m的取值范围； （2）圆心坐标和半径,解：（1）方程x2+y2+2mx2y+m2+5m=0表示圆， D2+E24F=（2m）2+（2）24（m2+5m）0， 即4m2+44m220m0，解得m ， 故m的取值范围为（，）,例1.若方程x2+y2+2mx2y+m2+5m=0表示圆，求： （1）实数m的取值范围； （2）圆心坐标和半径,解：（2）将方程x2+y2+2mx2y+m2+5m=0写成标准方程为（x+m）2+（y1）2=15m， 可得圆心坐标为（m，1），半径r=,练习：判断下列方程是否表示圆，若是，求出圆心和半径 （1）x2+y22x+1=0； （2）x2+y2+20x+162=0； （3）x2+y2+4mx2y+5m=0,例2：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。,解：设所求的圆的方程为：,即圆心坐标为（4，-3）,r=5,A（0，0），B（1，1），C（4，2)在圆上,还有其它方法吗？,方法总结,求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：,根据题意，选择标准方程或一般方程;,根据已知条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组;,解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或 一般方程.,课堂练习,1求下列各圆的方程： (1)过点A(5，1)，圆心在点C(8，-3)； (2)过三点A(-1，5)、B(5，5)、C(6，-2),答案:,(2)若已知条件涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.,(3).若已知三点求圆的方程,我们常采用 圆的一般方程用待定系数法求解.,课堂小结,(1)圆的一般方程，及由一般方程求圆心， 半径。,作业：课本P123 第1题 P124 第1题,