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初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象,仅限于直线、圆以及由它们(或一部分)所组成的图形,因此作图的工具,习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法,叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条: 经过两已知点可以画一条直线; 已知圆心和半径可以作一圆; 两已知直线;一已知直线和一已知圆;或两已知圆,如果相交,可以求出交点;以上三条,叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线;用圆规可以作出第二条公法所说的圆;用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题,不管多么复杂,如果能反复应用上述三条作图公法,经过有限的次数,作出适合条件的图形,这样的作图题就叫做尺规作图可能问题;否则,就称为尺规作图不能问题.历史上,最著名的尺规作图不能问题是: 三等分角问题:三等分一个任意角; 倍立方问题:作一个立方体,使它的体积是已知立方体的体积的两倍; 化圆为方问题:作一个正方形,使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年,万芝尔(Pierre Laurent Wantzel)首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题;1882年,德国数学家林德曼(Ferdinand Lindemann)证明是一个超越数(即是一个不满足任何整系数代数方程的实数),由此即可推得根号(即当圆半径时所求正方形的边长)不可能用尺规作出,从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.若干著名的尺规作图已知是不可能的,而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此,仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目,当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个著名问题: 正多边形作法 只使用直尺和圆规,作正五边形. 只使用直尺和圆规,作正六边形. 只使用直尺和圆规,作正七边形这个看上去非常简单的题目,曾经使许多著名数学家都束手无策,因为正七边形是不能由尺规作出的.只使用直尺和圆规,作正九边形,此图也不能作出来,因为单用直尺和圆规,是不足以把一个角分成三等份的. 问题的解决:高斯,大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法,并给出了可用尺规作图的正多边形的条件:尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积,解决了两千年来悬而未决的难题. 四等分圆周只准许使用圆规,将一个已知圆心的圆周4等分这个问题传言是拿破仑波拿巴出的,向全法国数学家的挑战.尺规作图的相关延伸:用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图1.只用直尺及生锈圆规作正五边形 2.生锈圆规作图,已知两点、,找出一点使得.3.已知两点、,只用半径固定的圆规,求作使是线段的中点.4.尺规作图,是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的,能更简洁的表达吗?顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时,有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年,有人证明:如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”,那么凡是尺规能作的,单用圆规也能作出!从已知点作出新点的几种情况:两弧交点、直线与弧交点、两直线交点 ,在已有一个圆的情况下,那么凡是尺规能作的,单用直尺也能作出!.五种基本作图:初中数学的五种基本尺规作图为:1.做一线段等于已知线段2.做一角等于已知角3.做一角的角平分线 4.过一点做一已知线段的垂线5.做一线段的中垂线下面介绍几种常见的尺规作图方法: 轨迹交点法:解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的位置是由两个条件确定的,先放弃其中一个条件,那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹;若改变放弃另一个条件,这个点就在另一条轨迹上,故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法,或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.【例1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔,如下图,按照设计要求,发射塔到两个城镇、的距离必须相等,到两条高速公路、的距离也必须相等,发射塔应修建在什么位置?【分析】 这是一道实际应用题,关键是转化成数学问题,根据题意知道,点应满足两个条件,一是在线段的垂直平分线上;二是在两条公路夹角的平分线上,所以点应是它们的交点.【解析】 作两条公路夹角的平分线或; 作线段的垂直平分线;则射线,与直线的交点,就是发射塔的位置.【例2】 在平面直角坐标系中,点的坐标是,是坐标原点,在直线上求一点,使是等腰三角形,这样的点有几个?【解析】 首先要清楚点需满足两个条件,一是点在上;二是必须是等腰三角形.其次,寻找点要分情况讨论,也就是当时,以点为圆心,为半径画圆,与直线有两个点、;当时,以点为圆心,为半径画圆,与直线无交点;当时,作的垂直平分线,与直线有一交点,所以总计这样的点有3个.【例3】 设与相离,半径分别为与,求作半径为的圆,使其与及外切.【分析】 设是符合条件的圆,即其半径为,并与及外切,显然,点是由两个轨迹确定的,即点既在以为圆心以为半径的圆上,又在以为圆心以为半径的圆上,因此所求圆的圆心的位置可确定.若与相距为,当时,该题无解,当有唯一解;当时,有两解.【解析】 以当与相距为,时为例: 作线段,. 分别以,为圆心,以,为半径作圆,两圆交于两点. 连接,分别交以为半径的于、两点. 分别以为圆心,以为半径作圆.即为所求.【思考】若将例3改为:“设与相离,半径分别为与,求作半径为的圆,使其与 内切,与外切.”又该怎么作图? 代数作图法:解作图题时,往往首先归纳为求出某一线段长,而这线段长的表达式能用代数方法求出,然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法.【例4】 只用圆规,不许用直尺,四等分圆周(已知圆心).【分析】 设半径为.可算出其内接正方形边长为,也就是说用这个长度去等分圆周.我们的任务就是做出这个长度.六等分圆周时会出现一个的长度.设法构造斜边为,一直角边为的直角三角形,的长度自然就出来了.【解析】 具体做法: 随便画一个圆.设半径为1. 先六等分圆周.这时隔了一个等分点的两个等分点距离为. 以这个距离为半径,分别以两个相对的等分点为圆心,同向作弧,交于一点.(“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦!两弧交点与“两个相对的等分点”形成的是一个底为2,腰为的等腰三角形.可算出顶点距圆心距离就是.) 以的长度等分圆周就可以啦!【例5】 求作一正方形,使其面积等于已知的面积.【分析】 设的底边长为,高为,关键是在于求出正方形的边长,使得,所以是与的比例中项.【解析】 已知:在中,底边长为,这个底边上的高为,求作:正方形,使得:作法: 作线段; 在的延长线上取一点,使得; 取中点,以为圆心,为半径作; 过作,交于, 以为一边作正方形.正方形即为所求.【例6】 在已知直线上求作一点,使得过作已知半径为的的切线,其切线长为.【分析】 先利用代数方法求出点与圆心的距离,再以为圆心,为半径作圆,此圆与直线的交点即为所求.【解析】 作,使得:,. 以为圆心,为半径作圆.若此圆与直线相交,此时有两个交点,.,即为所求.若此圆与直线相切,此时只有一个交点.即为所求.若此圆与直线相离,此时无交点.即不存在这样的点使得过作已知半径为的的切线,其切线长为. 旋转法作图:有些作图题,需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度,以使已知图形与所求图形发生联系,从而发现作图途径.【例7】 已知:直线、,且.求作:正,使得、三点分别在直线、上.【分析】 假设是正三角形,且顶点、三点分别在直线、上.作于,将绕点逆时针旋转后,置于的位置,此时点的位置可以确定.从而点也可以确定.再作,点又可以确定,故符合条件的正三角形可以作出.【解析】 作法: 在直线上取一点,过作于点; 以为一边作正三角形; 过作,交直线于; 以为圆心,为半径作弧,交于(使与在异侧). 连接、得.即为所求.【例8】 已知:如图,为角平分线上一点.求作:,使得,且在上,在上.【解析】 过作于. 过作直线; 在直线上取一点,使得(或); 过(或)作(或),交于(或)点; 连接(或),过作(或)交于(或)点.连接(或).则(或)即为所求. 位似法作图:利用位似变换作图,要作出满足某些条件的图形,可以先放弃一两个条件,作出与其位似的图形,然后利用位似变换,将这个与其位似得图形放大或缩小,以满足全部条件,从而作出满足全部的条件.【例9】 已知:一锐角.求作:一正方形,使得、在边上,在边上,在边上.【分析】 先放弃一个顶点在边上的条件,作出与正方形位似的正方形,然后利用位似变换将正方形放大(或缩小)得到满足全部条件的正方形.【解析】 作法: 在边上任取一点,过作于 以为一边作正方形,且使在的延长线上. 作直线交于. 过分别作交于;作交于. 过作交于.则四边形即为所求. 面积割补法作图:对于等积变形的作图题,通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形,再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形,使面积不变,从而完成所作图形.【例10】 如图,过的底边上一定点,求作一直线,使其平分的面积.【分析】 因为中线平分的面积,所以首先作中线,假设平分的面积,在中先割去,再补上.只要,则和就同底等高,此时它们的面积就相等了.所以就平分了的面积.【解析】 作法: 取中点,连接; 过作交于; 过、作直线.直线即为所求.【例11】 如图:五边形可以看成是由一个直角梯形和一个矩形构成. 请你作一条直线,使直线平分五边形的面积; 这样的直线有多少条?请你用语言描述出这样的直线.【解析】 取梯形的中位线的中点,再取矩形对角线的交点,则经过点,的直线即为所求; 这样的直线有无数条.设中的直线交于,交于,过线段中点,且与线段、均有交点的直线均可平分五边形的面积.【例12】 (江苏连云港)如图,点将线段分成两部分,如果,那么称点为线段的黄金分割点某研究小组在进行课题学习时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线将一个面积为的图形分成两部分,这两部分的面积分别为,如果,那么称直线为该图形的黄金分割线 研究小组猜想:在中,若点为边上的黄金分割点(如图),则直线是的黄金分割线你认为对吗?为什么? 请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线? 研究小组在进一步探究中发现:过点任作一条直线交于点,再过点作直线,交于点,连接(如图),则直线也是的黄金分割线请你说明理由 如图,点是的边的黄金分割点,过点作,交于点,显然直线是的黄金分割线请你画一条的黄金分割线,使它不经过各边黄金分割点ACB图1ADB图2CADB图3CFEFCBDEA图4 【解析】 直线是的黄金分割线理由如下:设的边上的高为,又点为边的黄金分割点,直线是的黄金分割线 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,此时,即
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