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初中数学竞赛专题辅导 中位线及其应用例1 如图2-53所示ABC中,ADBC于D,E,F,ABC的面积分析 由条件知,EF,EG分别是三角形ABD和三角形ABC的中位线利用中位线的性质及条件中所给出的数量关系,不难求出ABC的高AD及底边BC的长解 由已知,E,F分别是AB,BD的中点,所以,EF是ABD的一条中位线,所以由条件AD+EF=12(厘米)得 EF=4(厘米),从而 AD=8(厘米),由于E,G分别是AB,AC的中点,所以EG是ABC的一条中位线,所以BC=2EG=26=12(厘米),显然,AD是BC上的高,所以例2 如图 2-54 所示ABC中,B,C的平分线BE,CF相交于O,AGBE于G,AHCF于H(1)求证:GHBC;(2)若AB=9厘米,AC=14厘米,BC=18厘米,求GH分析 若延长AG,设延长线交BC于M由角平分线的对称性可以证明ABGMBG,从而G是AM的中点;同样,延长AH交BC于N,H是AN的中点,从而GH就是AMN的中位线,所以GHBC,进而,利用ABC的三边长可求出GH的长度(1)证 分别延长AG,AH交BC于M,N,在ABM中,由已知,BG平分ABM,BGAM,所以ABGMBG(ASA)从而,G是AM的中点同理可证ACHNCH(ASA),从而,H是AN的中点所以GH是AMN的中位线,从而,HGMN,即HGBC(2)解 由(1)知,ABGMBG及ACHNCH,所以AB=BM=9厘米,AC=CN=14厘米又BC=18厘米,所以BN=BC-CN=18-14=4(厘米),MC=BC-BM=18-9=9(厘米)从而MN=18-4-9=5(厘米),说明 (1)在本题证明过程中,我们事实上证明了等腰三角形顶角平分线三线合一(即等腰三角形顶角的平分线也是底边的中线及垂线)性质定理的逆定理:“若三角形一个角的平分线也是该角对边的垂线,则这条平分线也是对边的中线,这个三角形是等腰三角形”(2)“等腰三角形三线合一定理”的下述逆命题也是正确的:“若三角形一个角的平分线也是该角对边的中线,则这个三角形是等腰三角形,这条平分线垂直于对边”同学们不妨自己证明(3)从本题的证明过程中,我们得到启发:若将条件“B,C的平分线”改为“B(或C)及C(或B)的外角平分线”(如图2-55所示),或改为“B,C的外角平分线”(如图2-56所示),其余条件不变,那么,结论GHBC仍然成立同学们也不妨试证例3 如图2-57所示P是矩形ABCD内的一点,四边形BCPQ是平行四边形,A,B,C,D分别是AP,PB,BQ,QA的中点求证:AC=BD分析 由于A,B,C,D分别是四边形APBQ的四条边AP,PB,BQ,QA的中点,有经验的同学知道ABCD是平行四边形,AC与BD则是它的对角线,从而四边形ABCD应该是矩形利用ABCD是矩形的条件,不难证明这一点证 连接AB,BC,CD,DA,这四条线段依次是APB,BPQ,AQB,APQ的中位线从而ABAB,BCPQ,CDAB,DAPQ,所以,ABCD是平行四边形由于ABCD是矩形,PCBQ是平行四边形,所以ABBC,BCPQ从而ABPQ,所以 ABBC,所以四边形ABCD是矩形,所以AC=BD 说明 在解题过程中,人们的经验常可起到引发联想、开拓思路、扩大已知的作用如在本题的分析中利用“四边形四边中点连线是平行四边形”这个经验,对寻求思路起了不小的作用因此注意归纳总结,积累经验,对提高分析问题和解决问题的能力是很有益处的例4 如图2-58所示在四边形ABCD中,CDAB,E,F分别是AC,BD的中点求证:分析 在多边形的不等关系中,容易引发人们联想三角形中的边的不形中构造中位线,为此,取AD中点证 取AD中点G,连接EG,FG,在ACD中,EG是它的中位线(已知E是AC的中点),所以同理,由F,G分别是BD和AD的中点,从而,FG是ABD的中位线,所以在EFG中,EFEG-FG 由,例5 如图2-59所示梯形ABCD中,ABCD,E为BC的中点,AD=DC+AB求证:DEAE分析 本题等价于证明AED是直角三角形,其中AED=90在E点(即直角三角形的直角顶点)是梯形一腰中点的启发下,添梯形的中位线作为辅助线,若能证明,该中位线是直角三角形AED的斜边(即梯形另一腰)的一半,则问题获解证 取梯形另一腰AD的中点F,连接EF,则EF是梯形ABCD的中位线,所以因为AD=AB+CD,所以从而1=2,3=4,所以2+3=1+4=90(ADE的内角和等于180)从而AED=2+3=90,所以 DEAE例6 如图2-60所示ABC外一条直线l,D,E,F分别是三边的中点,AA1,FF1,DD1,EE1都垂直l于A1,F1,D1,E1求证:AA1+EE1=FF1+DD1分析 显然ADEF是平行四边形,对角线的交点O平分这两条对角线,OO1恰是两个梯形的公共中位线利用中位线定理可证证 连接EF,EA,ED由中位线定理知,EFAD,DEAF,所以ADEF是平行四边形,它的对角线AE,DF互相平分,设它们交于O,作OO1l于O1,则OO1是梯形AA1E1E及FF1D1D的公共中位线,所以即 AA1+EE1=FF1+DD1练习十四1已知ABC中,D为AB的中点,E为AC上一点,AE=2CE,CD,BE交于O点,OE=2厘米求BO的长2已知ABC中,BD,CE分别是ABC,ACB的平分线,AHBD于H,AFCE于F若AB=14厘米,AC=8厘米,BC=18厘米,求FH的长3已知在ABC中,ABAC,ADBC于D,E,F,G分别是AB,BC,AC的中点求证:BFE=EGD4如图2-61所示在四边形ABCD中,AD=BC,E,F分别是CD,AB的中点,延长AD,BC,分别交FE的延长线于H,G求证:AHF=BGF5在ABC中,AHBC于H,D,E,F分别是BC,CA,AB的中点(如图2-62所示)求证:DEF=HFE6如图2-63所示D,E分别在AB,AC上,BD=CE,BE,CD的中点分别是M,N,直线MN分别交AB,AC于P,Q求证:AP=AQ7已知在四边形ABCD中,ADBC,E,F分别是AB,CD涟江为区内地表水的主要排水通道,隧道设计标高高于最低排水基准面,隧道区山脊内沟谷多为季节性冲沟,主要由大气降水补给,水量小,受季节影响明显,地表水不发育,地表水对隧道施工及运营无影响。
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