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行列式的计算方法综述行列式的计算方法综述 目目 录录 1.定义法(线性代数释疑解难参考) 2.化三角形法(线性代数释疑解难参考) 3.逐行(列)相减法(线性代数释疑解难参考) 4.升降法(加边法) (线性代数释疑解难参考) 5.利用范德蒙德行列式(线性代数释疑解难参考) 6.递推法(线性代数释疑解难参考) 7.数学归纳法(线性代数释疑解难参考) 8.拆项法(课外辅导书上参考) 9.换元方法(课外辅导书上参考) 10.拆因法(课外辅导书上参考) 线性代数主要内容就是求解多元线性方程组,行列式的计算其中起重要作用。 下面由我介绍几种常见的计算行列式的方法: 1.1.定义法定义法 由定义看出,级行列式有个项。较大时,是一个很大的数字。直接n!nn!n 用定义来计算行列式是几乎不可能的事。但在级行列式中的等于零的项的个数较n 多时,它展开式中的不等于零的项就会少一些,这时利用行列式的定义来计算行 列式较方便。 例1.算上三角行列式 11121 222 0 00 n n nn aaa aa a 解:展开式的一般项为 1 2 12 12 1 n n j jj jjnj a aa 11121 222 1122 0 00 n n nn nn aaa aa a aa a 同样,可以计算下三角行列式的值。 11 2122 1122 12 00 0 nn nnnn a aa a aa aaa 2.2.化三角形法化三角形法 画三角形法是先利用行列式的性质将原行列式作某种保值变形,化为上(下) 三角形行列式,再利用上(下)三角形行列式的特点(主对角线上元素的乘积) 求出值。 例2.计算 n abbb babb Dbbab bbba 解:各行加到第一行中 111 n anbanbanb bab D bba 1111 1 babb anb bbab bbba 把第二列到第列都分别加上第一列的倍,有n 1 1 1000 00 1100 00 n bab anbanbabbab bab 3.3.逐行(列)相减法逐行(列)相减法 有这样一类行列式,每相邻两行(列)之间有许多元素相同,且这些相同元 素都集中在某个角上。因此可以逐行(列)相减的方法化出许多零元素来。 例3.计算级行列式n 1231 1221 132 12 1 nn xnn xxnn D xxx xxxx 解:从第二行起,每一行的倍都加上上一行,有 1 11111 01111 00111 00011 1 x x x D x xxxx 上式还不是特殊三角形,但每相邻两行之间有许多相同元素,且最后一10或 行有元素都是。因此可再用两列逐列相减的方法:第列起,每一列1nx1n 的倍加到后一列上 1 1000 0100 00100 0001 0001 xx xx x D xx xx 100 0100 1 001 0001 xx x x xx x 1 000 100 10100 001 n x xx xx xx 1 11 nn n xx 4.4.升降法(加边法)升降法(加边法) 升降法是在原行列式中再添加一列一行,是原来的阶成为阶,且往往n1n 让阶行列式的值与原阶行列式的值相等。一般说,阶数高的比阶数低的计1nn 算更复杂些。但是如果合理的选择所添加的行,列元素,是新的行列式更便于 “消零”的话,则升降后有利于计算行列式的值。 例4.计算级行列式n 12 12 12 1 1 1 n n n D 解: 12 12 12 12 1 01 01 01 n n n n D 12 1 1100 1010 1000 n 12 1 1 1 0100 1 0010 0001 n in n i 5.5.利用范德蒙德行列式利用范德蒙德行列式 例5. 计算级行列式n 111 1 222 2 121 121 121 1111 nnn n nnn n n ananaa ananaa D ananaa 解:这个行列式与范德蒙行列式很相似,可以利用行列式的性质将它化为范 德蒙行列式。 的第行依次与行,行行, 行对换,再将所得到的行列式 n Dn1n2n , 21 的第行,依次与行,行行对换。如此继续下去,直到最后将第 n 1n2n,2 行与行对换,这样经过次对换后,n1n 1 12211 2 nnn n 得到 1 2 222 2 111 1 1111 121 1 121 121 n n n nnn n nnn n ananaa D ananaa ananaa 这是一个范德蒙行列式。于是有 1 2 1 1 n n n j i n Danianj 1 2 1 1 n n j i n ij 范德蒙行列式是一个重要的行列式,它可以作为公式应用。 6.6.递推法递推法 这种方法是计算阶行列式较有用的一种方法。首先利用行列式性质把给定的n 阶行列式用同样形式的低阶行列式表示出来,这种表示式称为递推关系式。n n D 然后从递推关系式出发求出的一般表示式。 n D 例6. 计算级行列式n 1221 1000 0100 0000 0001 n nnnx x x x D x aaaaa 解:本题第一列只有两个非零元素,且的余子式恰为。因此我们有可 11 a 1n D 能找出递推关系式。按第一列展开得 1 1 1000 100 1000 001 n nnn x Dx Dax x 2 11 1 n nnnn x Dax Da 故 1nnn DaxD 这就是本题行列式的一个递推关系式,往减少方向递推有n 112nnn Dax D 故有 2 121212nnnnnnnn DaxDax axDaaxx D 2 123nnnn aaxxaxD 23 123nnnn aaxaxx D 232 1232 nn nnn aaxaxa xxD 232 123 21 1 nn nnn x aaxaxa xx aax 2321 12321 nnnn nnn aaxaxa xa xa xx 7.7.数学归纳法数学归纳法 计算和证明一些行列式时用数学归纳法来计算和证明比较方便,所以我们就 用数学归纳法。数学归纳法一般是在已知行列式的结果或猜出其结果作严格论证 时用的方法。 例7试证阶行列式n 1221 1000 0100 0000 0001 n nnn x x x D x aaaaax 12 121 2 nn nn xa xa xaxan 证明:用归纳法步骤 1.验证:当时,2n 左 2 1212 21 1x x axaxa xa aax 右左边右边 2 12 xa xa 注意:当本题行列式为阶时,应取右下角的阶与有关的行列式,而不能22 12 ,a a 取左上角的。 2 设当阶时,结论成立。1n 则将用第一列展开,有 n D 1 1 1000 100 1000 001 n nnn x DxDax x 11 123 111221 11 nn nnn nnnnnnn xDaxDax xa xa xaxaa 122 1221 nnn nnn xa xa xaxaxa 右 8.8.拆项法拆项法 由行列式拆项性质知,将已知行列式拆成若干个行列式之和,计算其值,再 得原行列式值。此法称为拆行(列)法。 例 8. 000 000 000 0 n aaaaaa baabaa Dbbabba bbbbbbaa 000 00 000 aaabb baabaa bbaba bbbabbba 0100 010 0100 1 aaaa babaa abbbb bbbbbba 对于上面的第一行列式,将第列乘加到其余各列上,对第二个行列式按第nb 列展开,最后可得:n 11 10 010 0010 00010 n n nnn bababaaa babbaa Dabbba bbb 这样我们得一个递推公式: 1 1 n nn DabaD 如果将第一列对按类此方法拆项,又可得到另一递推公式:b 1 1 n nn DbabD 取立上述两递推公式 1 1 1 1 n nn n nn DabaD DbabD 当时,ab 11 1 1 nn n n ab Dab ab 当时,ab 1 11 n n n Dna 9.9.换元方法换元方法 这种方法利用行列式的这样一条性质: 设 1112111121 2122221222 1 1212 , nn nn nnnnnnnn xxx xxx DD xxx 则 1 ,1 n ij i j DDxA 例 9.计算阶行列式n n x x D x 解: 00 00 00 n x x D x 1 00 00 00 n x x n x x 11
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