7学而思教育板块二.函数的奇偶性与对称性典例分析题型一：判断函数奇偶性1.判断函数奇偶性可以直接用定义，而在某些情况下判断f(x)f(-x)是否为0是判断函数奇偶性的一个重要技巧，比较便于判断【例1】 判断下列函数的奇偶性： ； ； ； 【例2】 判断下列函数的奇偶性：； ； ； 【例3】 判断下列函数的奇偶性并说明理由： 且； ； 【例4】 判别下列函数的奇偶性：（1）； （2）；（3）.【例5】 判断函数f(x)=的奇偶性2.由函数奇偶性的定义，有下面的结论： 在公共定义域内 （1）两个偶函数之和（积）为偶函数；（2）两个奇函数之和为奇函数；两个奇函数之积为偶函数；（3）一个奇函数和偶函数之积为奇函数【例6】 判断下列函数的奇偶性： ，其中且，为奇函数【例7】 若函数f(x)= g(x)是偶函数，且f(x)不恒为零，判断函数g(x)的奇偶性【例8】 函数与有相同的定义域，对定义域中任何，有，则是（ ）A奇函数 B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数【例9】 已知，则乘积函数在公共定义域上的奇偶性为（ ）A是奇函数而不是偶函数 B是偶函数而不是奇函数C既是奇函数又是偶函数 D既非奇函数又非偶函数【例10】 已知函数是奇函数；（x0）是偶函数，且不恒为0，判断的奇偶性题型二：求解析式与函数值1.利用函数奇偶性可求函数解析式【例11】 函数为奇函数，则的取值范围是（ ）A或 B或C D【例12】 设是上的奇函数，且当时，那么当时，=_【例13】 已知偶函数f(x)的定义域为R，当x0时，f(x)=，求f(x)的解析式设x0，则x0 【例14】 已知函数为上的奇函数，且当时求函数的解析式【例15】 已知函数，当为何值时，是奇函数？【例16】 已知是偶函数，时，求时的解析式.【例17】 已知是定义域为的奇函数，当时，求的解析式.【例18】 图象关于对称，当时，求当时的表达式【例19】 已知函数是奇函数,且,求的值.2.对于函数奇偶性有如下结论：定义域关于原点对称的任意一个函数f(x)都可表示成一个偶函数和一个奇函数之和即 f(x)=F(x)+G(x) 其中F(x) =f(x)+f(-x),G(x) =f(x)f(-x)利用这一结论，可以简捷的解决一些问题【例20】 定义在R上的函数f(x)=，可表示成一个偶函数g(x)和一个奇函数h(x)之和,求g(x)，h(x)【例21】 已知是奇函数，是偶函数并且，则求与的表达式【例22】 已知是奇函数，是偶函数，且，求、3.利用函数奇偶性求函数值【例23】 已知f（x）求f(2).【例24】 已知（、为实数），且则的值是（ ）AB-3C3D随、而变【例25】 若是定义在上的奇函数，则=_；若是定义在上的奇函数，且对一切实数都有，则=_；设函数且）对任意非零实数满足，则函数是_（指明函数的奇偶性）【例26】 已知函数若、且，则（ ）A大于零B小于零C等于零D大于零或小于零【例27】 设函数的最大值为，最小值为，则与满足（ ）ABCD【例28】 函数在上有定义，且满足是偶函数；是奇函数；求的值题型三：奇偶性与对称性的其他应用1.奇偶性与单调性【例29】 已知函数是偶函数，而且在上是减函数，判断在上是增函数还是减函数并证明你的判断对奇函数有没有相应的结论【例30】 已设函数是定义在R上的奇函数，且在区间上是减函数，实数a满足不等式，求实数a的取值范围.【例31】 已知为上的奇函数，且在上是增函数求证：在上也是增函数；若，解不等式，【例32】 已知函数，当时恒有 求证：函数是奇函数；若，试用表示如果时，且试判断的单调性，并求它在区间上的最大值与最小值【例33】 设函数（且对任意非零实数，恒有，求证：；求证：是偶函数；已知为，上的增函数，求适合的的取值范围【例34】 知都是奇函数，的解集是，的解集是，那么求的解集2.函数对称性【例35】 设函数对于一切实数都有，如果方程有且只有两个不相等的实数根，那么这两根之和等于_【例36】 当实数k取何值时，方程组有惟一实数解.【例37】 设a是正数，而是XOY平面内的点集，则的一个充分必要条件是（1986年上海中学生竞赛题）.【例38】 试证是整数.上例可推广为：设m、n为自然数，证明是整数.板块二.函数的奇偶性与对称性