基本不等式(一),武汉睿升学校,情景设置,欣 赏 体 会 丰 富 自 我,ICM2002会标,如图，这是在北京召开的第24届国际数学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。,赵爽弦图是由四个全等的直角三角形所组成，你能找出一些相等关系或不等关系吗？,赵爽弦图,ICM 2002,International Congress of Mathematicians,Bejing,August 20-28,2002,重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有,当且仅当a=b时，等号成立。,A,B,C,D,E(FGH),a,b,如何证明?,思考：你能给出不等式 的证明吗？,证明：（作差法）,当且仅当a=b 时等号成立,新课探究,如果a0，b0我们用 、 ，代替上式中 可得,这个不等式又如何证明？,只要证,要证（2），只要证,要证（3），只要证,显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。,我们一起来分析一下：,从不等式的性质推导基本不等式,2,通常我们把上式写作：,当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.,叫做正数a，b的几何平均数。,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?,RtACDRtDCB，,A,B,C,D,E,a,b,O,如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.,如何用a, b表示CD? CD=_,如何用a, b表示OD? OD=_,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?,如何用a, b表示CD? CD=_,如何用a, b表示OD? OD=_,OD与CD的大小关系怎样? OD_CD,如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.,几何意义：半径不小于弦长的一半,A,D,B,E,O,C,a,b,演示,剖析公式应用,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数., a、 b是两个正数., 当且仅当a=b时“”号成立 ,2、正用、逆用，注意成立的条件,3、变形用,1、 基本不等式可以叙述为:,从数列的角度来看： 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项,例1:,证明:,证明:,1、已知a0,b0,求证 .,变式训练:,2、已知a、b、c 为两两不相等的实数，求证,a=b,a=b,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,两数的平方和不小于它们积的2倍,a,bR,a0,b0,小结：,