【第五部分】不定积分1.书本知识（包含一些补充知识）（1）原函数：F（x）=f（x），xI，则称F（x）是f（x）的一个“原函数”。（2）若F（x）是f（x）在区间上的一个原函数，则f（x）在区间上的全体函数为F（x）+c（其中c为常数）（3）基本积分表 （1，为常数）（4）零函数的所有原函数都是c（5）C代表所有的常数函数数乘运算（6）运算法则线性运算加减运算（7）（8） （9）连续函数一定有原函数，但是有原函数的函数不一定连续，没有原函数的函数一定不连续。（10）不定积分的计算方法凑微分法（第一换元法），利用复合函数的求导法则变量代换法（第二换元法），利用一阶微分形式不变性分部积分法：【解释：一阶微分形式不变性】释义：函数对应：y=f(u)说明：（11）（12） 分段函数的积分例题说明：（13） 在做不定积分问题时，若遇到求三角函数奇次方的积分，最好的方法是将其中的一（16）隐函数求不定积分例题说明：（17）三角有理函数积分的万能变换公式（18）某些无理函数的不定积分欧拉变换（19） 其他形式的不定积分2.补充知识（课外补充） 【例谈不定积分的计算方法】 1、不定积分的定义及一般积分方法 2、特殊类型不定积分求解方法汇总1、不定积分的定义及一般积分方法（1）定义：若函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上存在原函数。其中(x)=F(x)+c0,(c0为某个常数），则(x)=F(x)+c0属于函数族F(x)+c（2）一般积分方法值得注意的问题： 第一，一般积分方法并不一定是最简便的方法，要注意综合使用各种积分方法，简便计算；第二，初等函数的原函数并不一定是初等函数，因此不一定都能够积出。 不能用普通方法积出的积分：2、特殊类型不定积分求解方法汇总（1）多次分部积分的规律（3）简单无理函数的积分被积函数为简单式的有理式，可以通过根式代换化为有理函数的积分小结：几分钟含有根号，应当考虑采用合适的方法去掉根号再进行计算。【第六部分】定积分1.书本知识（包含一些补充知识）（1）定义（12） 几种简化定积分的计算方法关于原点对称区间上的函数的定积分当f(x)为偶函数当f(x)为奇函数设f(x)是周期为T的周期函数，且连续。则：（n为奇数）（n为偶数）分的值无关，依然可以正常去求。（14） 极坐标与直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x,y)，它的极坐标是(,0).则：x y(15) 定积分中容易混淆的x与t的关系的问题 对于定积分，被积表达式中的无所谓t还是x，最后都会被积分上下限所替代。所以在变限函数积分的上下限中含x的时候，被积表达式用t表示以示区别。当然如果此时被积表达式中含x和t，在二者都有的情况下，则把x看成常数提到外面或者换元换走x。例证： 定积分证明问题中关于x与t化简后的计算方法：2. 补充知识（课外补充） 【积分中值定理及其应用】积分中值定理是积分学的一个重要性质。它建立了定积分与被积函数之间的关系，从而使我们可以通过被积函数的性质研究积分的性质，有较高的理论价值以及广泛的应用。一、积分中值定理的内容定理：积分第一中值定理定理：推广的积分第一中值定理 二、积分中值定理的应用 由于该定理可以使积分符号去掉，从而使问题简化，对于证明包含函数积分和某个函数之间的等式或不等式，常可以考虑使用积分中值定理 在应用积分中值定理时应注意以下几点： 在应用中应注意被积函数在区间a,b上这一连续条件，否则结论不一定会成立 在定理中的g(x)在a,b上面不能变号，这个条件也不能去掉。 定理中所指出的并不一定是唯一的，也不一定必须是a,b内的点下面就其应用进行讨论（1）估计定积分的值（2）求含有定积分的极限说明：解决此类问题的关键是用积分中值定理去掉积分符号。在应用该定理时，要注意中值不仅依赖于积分区间，而且依赖于限式中n的趋近方式。（3）证明中值的存在性命题 说明：在证明有关题设中含有抽象函数的定积分等式时，一般应用积分中值定理。（4）证明积分不等式说明：由于积分有许多特殊的运算性质，故积分不等式的证明往往具有很强的技巧性。在证明含有定积分的不等式时，也常考虑使用积分中值定理，以便去掉积分符号。若被积函数是两个函数之积时，可考虑使用广义积分中值定理。（5）证明函数的单调性三、积分中值定理的拓展（1）第二积分中值定理如果函数f(x)在闭区间a,b上可积，而g(x)在区间(a,b)上单调，则在a,b上至少存在一点，使得：特别地，g(x)在a,b上单调递增，则：（2）特殊积分中值定理若函数f(x)在区间a,b上连续，g(x)在a,b上可积且不变号，则在a,b上必存在一点，使得：（3）第二积分中值定理和特殊积分中值定理统称为“广义积分中值定理”。23