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任意角的三角函数及诱导公式【典例解析】题型1:象限角例1已知角;(1)在区间内找出所有与角有相同终边的角;(2)集合,那么两集合的关系是什么?解析:(1)所有与角有相同终边的角可表示为:,则令 ,得 解得 从而或代回或(2)因为表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合;而集合表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合,从而:。点评:(1)从终边相同的角的表示入手分析问题,先表示出所有与角有相同终边的角,然后列出一个关于的不等式,找出相应的整数,代回求出所求解;(2)可对整数的奇、偶数情况展开讨论。例2若sincos0,则在( )A第一、二象限 B第一、三象限C第一、四象限 D第二、四象限解析:答案:B;sincos0,sin、cos同号。当sin0,cos0时,在第一象限,当sin0,cos0时,在第三象限,因此,选B。例3若A、B是锐角ABC的两个内角,则点P(cosBsinA,sinBcosA)在( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案:B解析:A、B是锐角三角形的两个内角,AB90,B90A,cosBsinA,sinBcosA,故选B。例4已知“是第三象限角,则是第几象限角?解法一:因为是第三象限角,所以,当k=3m(mZ)时,为第一象限角;当k= 3m1(mZ)时,为第三象限角,当k= 3m2(mZ)时,为第四象限角,故为第一、三、四象限角。解法二:把各象限均分3等份,再从x轴的正向的上方起.依次将各区域标上I、,并依次循环一周,则原来是第象限的符号所表示的区域即为的终边所在的区域。由图可知,是第一、三、四象限角.点评:已知角的范围或所在的象限,求所在的象限是常考题之一,一般解法有直接法和几何法,其中几何法具体操作如下:把各象限均分n等份,再从x轴的正向的上方起,依次将各区域标上I、,并循环一周,则原来是第几象限的符号所表示的区域即为 (nN*)的终边所在的区域。题型2:三角函数定义例5已知角的终边过点,求的四个三角函数值。解析:因为过点,所以,。当; ,。当,;。例6已知角的终边上一点,且,求的值。解析:由题设知,所以,得,从而,解得或。当时, ;当时, ;当时, 。题型3:诱导公式例7(2009辽宁文,8)已知,则( ) A. B. C. D.答案 D例8化简:(1);(2)。解析:(1)原式;(2)当时,原式。当时,原式。点评:关键抓住题中的整数是表示的整数倍与公式一中的整数有区别,所以必须把分成奇数和偶数两种类型,分别加以讨论.题型4:同角三角函数的基本关系式例9已知,试确定使等式成立的角的集合。解析:,=。又, 即得或.所以,角的集合为:或。例10(1)证明:;(2)求证:。解析:(1)分析:证明此恒等式可采取常用方法,也可以运用分析法,即要证,只要证AD=BC,从而将分式化为整式.证法一:右边=证法二:要证等式,即为只要证 2()()=即证:,即1=,显然成立,故原式得证。点评:在进行三角函数的化简和三角恒等式的证明时,需要仔细观察题目的特征,灵活、恰当地选择公式,利用倒数关系比常规的“化切为弦”要简洁得多。(2)同角三角函数的基本关系式有三种,即平方关系、商的关系、倒数关系.(2)证法一:由题义知,所以。左边=右边。原式成立。证法二:由题义知,所以。又,。证法三:由题义知,所以。,。点评:证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程,证明时常用的方法有:(1)从一边开始,证明它等于另一边(如例5的证法一);(2)证明左右两边同等于同一个式子(如例6);(3)证明与原式等价的另一个式子成立,从而推出原式成立(以下来自2009年各地高考试题)1.(2009海南宁夏理,5).有四个关于三角函数的命题:xR, += : x、yR, sin(x-y)=sinx-siny: x,=sinx : sinx=cosyx+y=其中假命题的是A, B., C., D.,答案 A2.(2009辽宁理,8)已知函数=Acos()的图象如图所示,则=( )A. B. C.- D. 答案 C(2009全国I文,1)的值为A. B. C. D. 答案 A5.(2009全国I文,4)已知tan=4,cot=,则tan(a+)= ( )A. B. C. D. 答案 B6.(2009全国II文,4) 已知中, 则A. B. C. D. 解析:已知中,. 故选D.7.(2009全国II文,9)若将函数的图像向右平移个单位长度后,与函数的图像重合,则的最小值为( ) A. B. C. D. 答案 D8.(2009北京文)“”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案 A解析 本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查.当时,反之,当时,或,故应选A. 9.(2009北京理)“”是“”的 ( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案 A解析 本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查.当时,反之,当时,有, 或,故应选A.10.(2009全国卷文)已知ABC中,则A. B. C. D. 答案:D解析:本题考查同角三角函数关系应用能力,先由cotA=知A为钝角,cosA0排除A和B,再由选D11.(2009四川卷文)已知函数,下面结论错误的是 A. 函数的最小正周期为2 B. 函数在区间0,上是增函数 C.函数的图象关于直线0对称 D. 函数是奇函数答案 D解析,A、B、C均正确,故错误的是D【易错提醒】利用诱导公式时,出现符号错误.12.(2009全国卷理)已知中, 则( )A. B. C. D. 解析:已知中,. 故选D.答案 D13.(2009湖北卷文)“sin=”是“”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析 由可得,故成立的充分不必要条件,故选A.14.(2009重庆卷文)下列关系式中正确的是( )A B C D答案 C解析 因为,由于正弦函数在区间上为递增函数,因此,即二、填空题15.(2009北京文)若,则 .答案 解析 本题主要考查简单的三角函数的运算.属于基础知识、基本运算的考查.由已知,在第三象限,应填.16.(2009湖北卷理)已知函数则的值为 .答案 1解析 因为所以故【命题意图】在课改区高考试题中,十分重视弘扬和发展学生的数学应用意识.新课标卷更注意数学应用意识和实践能力的考查,试题设计更加注意贴近生活实践.4. 函数,给出下列4个命题:在区间上是减函数; 直线是函数图像的一条对称轴;函数f(x)的图像可由函数的图像向左平移而得到;OABCNM若,则f(x)的值域是其中正确命题序号是 。5. 已知边长为4的正三角形的中心为,一个半径为8,中心角为的扇形的顶点与重合,当扇形绕着逆时针旋转时,请说明:与扇形的重叠部分的面积变化特征: 。 6. 锐角中,且,则的最大值为 7. 设则的值等于_ .8. 在ABC中,BC=1,当ABC的面积等于时,_ .9. 若的三个内角的正弦值分别等于的三个内角的余弦值,则的三个内角从大到小依次可以为 (写出满足题设的一组解) ,另两角不惟一,但其和为10. 在ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,给出下列结论:若ABC,则;若;必存在A、B、C,使成立;若,则ABC必有两解.其中,真命题的编号为 .(写出所有真命题的编号)11. 若函数对任意的存在常数,使得恒成立,则的最小正值是: 12五【思维总结】1几种终边在特殊位置时对应角的集合为:角的终边所在位置角的集合X轴正半轴Y轴正半轴X轴负半轴Y轴负半轴X轴Y轴坐标轴2、2之间的关系。若终边在第一象限则终边在第一或第三象限;2终边在第一或第二象限或y轴正半轴。若终边在第二象限则终边在第一或第三象限;2终边在第三或第四象限或y轴负半轴。若终边在第三象限则终边在第二或第四象限;2终边在第一或第二象限或y轴正半轴。若终边在第四象限则终边在第二或第四象限;2终边在第三或第四象限或y轴负半轴。3任意角的概念的意义,任意角的三角函数的定义,同角间的三角函数基本关系、诱导公式.由于本重点是任意角的三角函数角的基础,因而三学习本节内容时要注意如下几点:(1)熟练地掌握常用的方法与技巧,在使用三角代换求解有关问题时要注意有关范围的限制;(2)要注意差异分析,又要活用公式,要善于瞄准解题目标进行有效的变形,其解题一般思维模式为:发现差异,寻找联系,合理转化.只有这样才能在高考中夺得高分。三角函数的值与点在终边上的位置无关,仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,。所以,三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.4运用同角三角函数关
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