4.6三角恒等变换及应用2014高考会这样考1.利用三角恒等变换求值或化简；2.在三角恒等变换基础上，考查三角函数的图象和性质复习备考要这样做1.熟练掌握三角函数和差公式、倍角公式；2.会灵活应用公式，掌握一些常用技巧1 降幂公式sin2；cos2；tan2.2 几个恒等式(1)sin sin 2sincos ；cos cos 2coscos .(2)万能代换：sin ；cos ；tan .难点正本疑点清源1 利用降幂公式可以计算的三角函数值，其中的符号由所在象限确定2 公式的逆用、变形用是三角变换的常用技巧3 注意公式asin bcos 形式的三角式子的变形1 已知cos ，(，2)，则cos _.答案解析cos 2cos21，cos2，cos ，(，2)，cos 0，cos .2 tan _.答案2解析原式2.3 若sin，则cos 2_.答案解析sincos ，cos 22cos21221.4 若，均为钝角，且sin ，cos ，则的值为_答案解析，为钝角，且sin ，cos ，cos ，sin .2，故由cos()cos cos sin sin ，得.5 f(tan x)cos 2x，则f()_.答案解析f(tan x)cos 2xcos2xsin2x，f().题型一三角函数的化简与求值例1(1)已知，tan ，求的值；(2)已知0，tan ，cos()，求.思维启迪：(1)求值要对已知和所求式子进行化简；(2)求角要先从出发，结合、关系求的范围和三角函数值解(1)，1tan 0，由tan ，得：3tan210tan 30，tan 或tan 3(舍去)2tan 2.(2)0，tan ，tan .sin2cos21，sin .又因为0，所以0.因为cos()，所以sin().又cos ，所以sin sin()sin()cos cos()sin .因为，所以.探究提高已知角的范围求角，要选用合适的三角函数，一般已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值时，选正、余弦函数；若角范围是，正、余弦函数均可；若角范围是(0，)时，一般选余弦函数；若角范围是时，则一般选正弦函数 (1)化简： (0)；(2)求值：sin 10.解(1)原式.因为0，所以00，所以原式cos .(2)原式sin 10sin 10sin 10.2cos 10.题型二三角形中的恒等变换例2已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2cos .(1)求角C的大小；(2)若a，b，c成等比数列，求sin A的值思维启迪：由sin2cos ，得cos (1sin2)cos2，于是由cos 0，可得cos ，从而C.解(1)由sin2cos ，得cos ，整理得cos 0.因为在ABC中，0C，所以0.所以cos (舍去cos 0)，从而，即C.(2)因为a，b，c成等比数列，所以b2ac.由(1)知，ABC是以角C为直角的直角三角形，所以c2a2b2，将b2ac代入，整理得a2acc20，上式两边同除以c2，得10，因为sin A，所以sin2Asin A10.又0A，解得sin A(舍去sin A)探究提高在三角形中，由边角关系求三角函数值或角度，正、余弦定理是转化的工具，解这类问题，充分考查了三角恒等变换的能力 ABC的三内角分别为A、B、C，向量m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，若mn1cos(AB)，求C.解mnsin Acos Bsin Bcos A(sin Acos Bsin Bcos A)sin(AB)1cos(AB)，sin C1cos C，sin Ccos C1，即2sin1，sin，又C(0，)，C，C.题型三三角变换的简单应用例3已知f(x)sin2x2sinsin.(1)若tan 2，求f()的值；(2)若x，求f(x)的取值范围思维启迪：(1)化简f(x)，由tan 2代入求f()；(2)化成f(x)Asin(x)b的形式，求f(x)的取值范围解(1)f(x)(sin2xsin xcos x)2sincossin 2xsin(sin 2xcos 2x)cos 2x(sin 2xcos 2x).由tan 2，得sin 2.cos 2.所以，f()(sin 2cos 2).(2)由(1)得f(x)(sin 2xcos 2x)sin.由x，得2x.所以sin1,0f(x)，所以f(x)的取值范围是.探究提高(1)将f(x)化简是解题的关键，本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将sin 2，cos 2化为正切tan ，为第(1)问铺平道路(2)把形如yasin xbcos x化为ysin(x)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性 已知函数f(x)sin2sin2 (xR)(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值时x的集合解(1)因为f(x)sin1cos 22sincos12sin12sin1，所以f(x)的最小正周期T.(2)当f(x)取得最大值时，sin1，此时2x2k(kZ)，即xk (kZ)，所以所求x的集合为x|xk，kZ构造法在三角函数中的应用典例：(14分)已知函数f(x)2cos xcossin2xsin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当0，时，若f()1，求的值审题视角(1)在f(x)的表达式中，有平方、有乘积，而且还表现为有不同角，所以要考虑到化同角、降幂等转化方法(2)当f(x)asin xbcos x的形式时，可考虑辅助角公式规范解答解(1)因为f(x)2cos xcossin2xsin xcos xcos2xsin xcos xsin2xsin xcos x2分cos 2xsin 2x2sin，所以最小正周期T.7分(2)由f()1，得2sin1，又0，所以2，10分所以2或2，故或.14分温馨提醒(1)在本题的解法中，运用了二倍角的正、余弦公式，还引入了辅助角，技巧性较强值得强调的是：辅助角公式asin bcos sin()(其中tan )，或asin bcos cos() (其中tan )，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注(2)本题的易错点是想不到引入辅助角或引入错误在定义域大于周期的区间上求最值时，辅助角的值一般不用具体确定.方法与技巧三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简，二是求值，三是三角恒等式的证明(1)三角函数的化简要求是项数尽量少，次数尽量低，能求值的则求值，常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解(2)三角函数求值分为条件求值与非条件求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解(3)熟悉三角公式的整体结构，灵活变换本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形失误与防范1三角恒等变换时要明确方向，不要盲目转化2三角变换的目的在于应用，掌握通性通法是重点，不要过多追求变换技巧3公式运用熟练准确，注意各角之间的关系，结合式子的结构特点合理地进行变形A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：62分)一、填空题(每小题5分，共35分)1 若sin，则cos_.答案解析cos2cos212sin21221.2. _.答案2解析原式2.3 函数f(x)sin2的最小正周期是_答案解析由f(x)sin2sin 4x，T.4 cos sin _.答案解析cos sin 222cos2cos .5 满足sin sin xcos cos x的锐角x_.答案解析由题意知sin sin xcos cos x，即cos，故x2k，kZ，又因为x为锐角，故x.6 已知cos，则的值为_答案解析cos，sin xcos x，1sin 2x，sin 2x.2sin xcos xsin 2x.7 已知sin Acos A，A为第四象限角，则tan A_.答案解析由sin Acos A，平方得sin 2A，又sin 2A，又tan A0，sin Acos A，tan A.二、解答题(共27分)8 (13分)(1)在ABC中，A，B，C分别为边a，b，c的对角，又tan Atan B(tan Atan B1)，求角C的大小(2)化简：.解(1)tan Atan B(tan Atan B1)，tan(AB)(1tan Atan B)(tan Atan B1)，显然tan Atan B10，否则tan Atan B0，得矛盾结论tan(AB)，即tan(C)，tan C，又0C0)的最小