高中数学必修高中数学必修 1 第 1 页 （共 70页） 第一章集合与函数概念第一章集合与函数概念 课题：课题：1.1 集合集合 教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基 础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方 面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。 课 型：新授课 教学目标： （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于” 关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不 同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 教学重点：集合的基本概念与表示方法； 教学难点：运用集合的两种常用表示方法列举法与描述法，正确表示一些简单 的集合； 教学过程： 一、 引入课题 军训前学校通知：8 月 15 日 8 点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问 这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高 一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新 的概念集合（宣布课题） ，即是一些研究对象的总体。 阅读课本 P2-P3内容 二、 新课教学 （一）集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能 意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地， 研究对象统称为元素 （element） ， 一些元素组成的总体叫集合 （set） ， 也简称集。 高中数学必修高中数学必修 1 第 2 页 （共 70页） 3. 思考 1： 课本 P3的思考题， 并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子， 对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。 4. 关于集合的元素的特征 （1）确定性：设 A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是 A 的元素，或者不是 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。 （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个 体（对象） ，因此，同一集合中不应重复出现同一元素。 （3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样 5. 元素与集合的关系； （1）如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于（belong to）A，记作 aA （2）如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于（not belong to）A，记作 aA（或 a A） （举例） 6. 常用数集及其记法 非负整数集（或自然数集） ，记作 N 正整数集，记作 N*或 N+； 整数集，记作 Z 有理数集，记作 Q 实数集，记作 R （二）集合的表示方法 我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此 之外还常用列举法和描述法来表示集合。 （1） 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。 如：1，2，3，4，5，x2，3x+2，5y3-x，x2+y2，； 例 1 （课本例 1） 思考 2，引入描述法 说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素 的顺序。 （2） 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变 化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特 高中数学必修高中数学必修 1 第 3 页 （共 70页） 征。 如：x|x-32，(x,y)|y=x2+1，直角三角形，； 例 2 （课本例 2） 说明： （课本 P5最后一段） 思考 3： （课本 P6思考） 强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素 (x,y)|y= x2+3x+2与 y|y= x2+3x+2不同，只要不引起误解，集合的代表元素 也可省略，例如：整数，即代表整数集 Z。 辨析： 这里的 已包含 “所有” 的意思， 所以不必写全体整数。 下列写法实 数集，R也是错误的。 说明： 列举法与描述法各有优点， 应该根据具体问题确定采用哪种表示法， 要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （三）课堂练习（课本 P6练习） 三、 归纳小结 本节课从实例入手，非常自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结合实例对 集合的概念作了说明，然后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法。 四、 作业布置 书面作业：习题 1.1，第 1- 4 题 五、 板书设计（略） 课题课题:1.2 集合间的基本关系集合间的基本关系 教材分析：类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系 了解空集的含义 课 型：新授课 教学目的： （1）了解集合之间的包含、相等关系的含义； （2）理解子集、真子集的概念； （3）能利用 Venn 图表达集合间的关系； （4）了解与空集的含义。 教学重点：子集与空集的概念；用 Venn 图表达集合间的关系。 教学难点：弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别； 高中数学必修高中数学必修 1 第 4 页 （共 70页） 教学过程： 六、 引入课题 1、 复习元素与集合的关系属于与不属于的关系，填以下空白： （1）0 N； （2）2 Q； （3）-1.5 R 2、 类比实数的大小关系，如 52,B=x|x5，并表示 A、B 的关系； （七） 课堂练习 （八） 归纳小结，强化思想 两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数 间的大小关系，同时还要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示 方法； （九） 作业布置 1、 书面作业：习题 1.1 第 5 题 2、 提高作业： 1 已知集合5|0） 由此可得：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作00 = n 思考： （课本 P58探究问题） nn a=a一定成立吗？ （学生活动） 结论：当n是奇数时，aa nn = 当n是偶数时， =nNnmaaa nm n m ) 1, 0( 11 * = nNnma a a a nm n m n m 0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义 指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数 指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂 高中数学必修高中数学必修 1 第 28 页 （共 70页） 3有理指数幂的运算性质 （1） r a srr aa + = ), 0(Qsra； （2） rssr aa=)( ), 0(Qsra； （3） srr aaab=)( ), 0, 0(Qrba 引导学生解决本课开头实例问题 例 2 （教材 P60例 2、例 3、例 4、例 5） 说明： 让学生熟练掌握根式与分数指数幂的互化和有理指数幂的运算性质运用 巩固练习： （教材 P63练习 1-3） 4 无理指数幂 结合教材 P62实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义 指出：一般地，无理数指数幂), 0(是无理数 aa是一个确定的实数有理 数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂 思考： （教材 P63练习 4） 巩固练习思考： ： （教材 P62思考题） 例 3 （新题讲解）从盛满 1 升纯酒精的容器中倒出 3 1 升，然后用水填满，再倒 出 3 1 升，又用水填满，这样进行 5 次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？ 解： （略） 点评：本题还可以进一步推广，说明可以用指数的运算来解决生活中的实际问 题 三十七、 归纳小结，强化思想 本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算，分数指数幂是根式的另 一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化在进行指数幂的运算时，一般地， 化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、 乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要 善于利用幂的运算法则 三十八、 作业布置 5 必做题：教材 P69习题 21（A 组） 第 14 题 6 选做题：教材 P70习题 21（B 组） 第 2 题 高中数学必修高中数学必修 1 第 29 页 （共 70页） 课题：课题：2.1.2 指数函数及其性质指数函数及其性质 教学任务： （1）使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他 学科的联系； （2）理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索 并理解指数函数的单调性和特殊点； （3）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体 到一般的过程、数形结合的方法等 教学重点：指数函数的的概念和性质 教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质 教学过程： 三十九、 引入课题 （备选引例） 5 （合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全 世界关注 世界人口 2000 年大约是 60 亿， 而且以每年 1.3%的增长率增长， 按照这种增长速度， 到 2050 年世界人口将达到 100 多亿， 大有 “人口爆炸” 的趋势 为此， 全球范围内敲起了人口警钟， 并把每年的 7 月 11 日定为 “世 界人口日” ，呼吁各国要控制人口增长为了控制人口过快增长，许多国家 都实行了计划生育 我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界 7%的国土上，却养育 着 22%的世界人口因此，中国的人口问题是公认的社会问题2000 年第 五次人口普查，中国人口已达到 13 亿，年增长率约为 1%为了有效地控 制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策 1 按照上述材料中的 1%的增长率，从 2000 年起，x 年后我国的人口 将达到 2000 年的多少倍？ 2 到 2050 年我国的人口将达到多少？ 3 你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？ 6 上一节中 GDP 问题中时间 x 与 GDP 值 y 的对应关系 y=1.073x（xN*，x 20）能否构成函数？ 7 一种放射性物质不断变化成其他物质， 每经过一年的残留量是原来的 84%， 高中数学必修高中数学必修 1 第 30 页 （共 70页） 那么以时间 x 年为自变量，残留量 y 的函数关系式是什么？ 8 上面的几个函数有什么共同特征？ 四十、 新课教学 （一）指数函数的概念 一般地，函数) 1a, 0a (ay x =且叫做指数函数（exponential function） ，其 中 x 是自变量，函数的定义域为 R 注意： 1 指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析； 2 注意指数函数的底数的取值范围， 引导学生分析底数为什么不能是负 数、零和 1 巩固练习：利用指数函数的定义解决（教材 P68例 2、3） （二）指数函数的图象和性质 问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和 方法吗？ 研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性 探索研究： 1在同一坐标系中画出下列函数的图象： （1） x ) 3 1 (y = （2） x ) 2 1 (y = （3） x 2y = （4） x 3y = （5） x 5y = 2从画出的图象中