容器设计的数学建模计算【摘 要】本题目属于在一定条件下求最优解的问题。具体到题目是求不同形状的容器在容积一定容器表面积最小的情况下，求容器的各项参数（圆锥台的高h，上下底面半径r, R, L；圆柱高H）之间的比值，并将解的精确度进行优化的问题。求解的大体步骤为先建立简化模型，以便于计算且使结论具有一定普遍性。使用Autocad2007绘图软件绘制图形。建立容器各项参数与表面积、体积的正确的的函数关系式，并使容器表面积达到最小，求出此时各项参数间的比值。解答过程中，因出现较为复杂的函数关系式，我们将借助数学软件LINGO9.0进行编程计算，调整输出数据的精确度的有效位数，得到最优解。【关键词】优化 最小值 比值 理想模型 1、 问题重述 容器的设计问题： （1）.要设计一个无盖的圆锥台形状的容器，上半径为R，下半径为rR，高为h。求容积在一个正常数的条件下，使该容器的表面积达到最小时的两个比值r/R , h/R的精确值（用整数的有限次四则运算及根式运算的最简形式表示）及它们精确到20位有效数字的近似值。 （2）.要设计一个无盖的容器，是一个半径为R，高为H的圆柱面放在一个圆锥台上组成的。圆锥台的半径为R，下半径为rR,高为h.求容积在一个正常数的条件下，使该容器的表面积达到最小时的三个比值r/R, h/R, H/R的精确值（意义同（1）及它们精确到20位有效数字的近似值。 （3）.要设计一个无上盖的容器，是一个高为H，上半径为L，下半径为RL的圆锥台放在高为h，上半径为R，下半径为r0).根据对称性原理，可以猜想当定容时，无论容器的大小，最优解时的形状是相似的，而尺寸比例是相同的。故而:当体积V 为定值，不妨设 V = 。 3.1 模型一：容器主体为正圆台模型 当容器为一个正圆台时（如右图），假设正圆台部分上半径为为R，下半径为r， Rr，高为h，容积为v。根据假设1 可知， 制作容器的表面积最小作为最优设计。 容器的正圆台部分侧面积： 容器底部面积： 所以，容器表面积： 则使容器表面积最小，得： 利用LINGO9.0 计算得出: =0. =0. 3.2 模型二：容器主体为正圆柱体，下面部分为正圆台模型 当容器的上面部分是正圆柱体，下面部分是一个正圆台时（如右图），假设正圆柱体部分半径为，高为H，；正圆台部分上半径为R， 下半径为r，正圆台高为h。根据假设2 可知， 制作容器的表面积最小作为最优设计。 R 容器正圆台部分表面积：容器正圆柱部分表面积：所以，容器表面积为： 使容器表面积最小：利用LINGO9.0 计算得出: =0. =0. =0. 3.3 模型三：容器上面部分为正圆台，下面部分为正圆台模型 当容器的上面部分是正圆台，下面部分是一个正圆台时（如右图），假设上正圆台部分上半径为L，下半径为R，高为H，；下正圆台部分上半径为R，下半径为r，正圆台高为h。根据假设3 可知，制作容器的表面积最小作为最优设计。 容器下正圆台部分表面积： 容器上正圆柱部分表面积： p所以，容器表面积为： 使容器表面积最小：利用LINGO9.0 计算得出； =0. =0. =0. =1. = pp4、 模型的评价与拓展 4.1 评价 4.1.1 优势 模型直观简单，易于理解想象，便于计算，具备一般性、普遍性、概括性。 4. 1 .2 不足 在求解的同时，我们也同样认识到一些问题与不足。现实生活生产活动中应用的容器，它们普遍具有厚度材料的厚薄程度。比如杯子，它是一种形状类似于圆柱体，侧壁厚度与底面厚度不同的容器。因此不论是何种容器，均是由某种材料制成，因而也必然有一定的厚度。 现实生活生产中应用的容器，它们因用途不同等原因，为了能更加便于利用，也具有着不同的形状与结构。而我们在解题的时候将厚度忽略，将容器的工艺结构极度简化为由简单曲面拼接而成，进而简化了模型，降低了问题的深入程度。这样虽然利于模型的建立、问题的解决，却也导致了与现实的脱节，这个不足必然会限制模型的普适性。 4.2拓展 对于定容容器表面积最优化模型的推广，相当具有借鉴意义。这是因为无论是塑料容器，还是铁质容器，无论是原始陶器还是纳米碳管，它们的制作材料千差万别，却都遵循着同样的形状设计规律。 在应用领域拓展的同时，更迫切的是在脑容积一定的环境中拓展我们思考的表面积，激发我们的创新意识。比如研制容积可自由变化的杯子以方便不同时间不同地点的使用，比如研制可以自动修补缺口的轮胎以降低由此诱发的交通事故率，比如纳米量级的药丸以提高服用的口感和身体吸收效率等等。 参考文献 1姜启源，数学建模（第三版），北京：高等教育出版社，2003年。 2韩旭里，微积分（上下），北京：科学出版社，2008年。 3韩旭里，线性代数，北京：科学出版社，2008年。 4薛定宇，陈阳泉高等应用数学问题的Matlab求解，北京：清华大学出版社，2004年。 5谢金星，优化模型与Lingo/Lindo软件北京：清华大学出版社，2005年。 6全国大学生数学建模竞赛组委会，全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编（1992-2000）北京：中国物价出版社，2002年。 附录 （程序源代码以及运行结果） 使用Lingo求解（说明：r=x1，R=x2，h=x3，H=x4，L=x5，体积V为定值，设V=） 1）v=; 10 min=(x12+(x1+x2)*(x32+(x2-x1)2)(1/2)*3.; (1/3)*3.14159*(x22+x2*x1+x12)*x3=v; x2x1; Local optimal solution found. Objective value: 20417.76 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 115 Variable Value Reduced Cost V .0 0. X1 32.51933 0. X2 59.27869 0. X3 52.89518 0. Row Slack or Surplus Dual Price1 0. -0.E-012 20417.76 -1.3 0. -0.E-014 26.75936 0.2）v=;min=(x12+(x1+x2)*(x32+(x2-x1)2)(1/2)+2*x2*x4)*3.;(1/3)*3.14159*(x22+x2*x1+x12)*x3+3.*x22*x4=v;x2x1;Local optimal solution found.Objective value: 19937.61Extended solver steps: 5Total solver iterations: 150Variable Value Reduced CostV .0 0.X1 25.21951 0.X2 54.16899 0.X3 34.41591 0.X4 19.75312 0.Row Slack or Surplus Dual Price1 0. -0.E-012 19937.61 -1. 113 0. -0.E-014 28.94949 0.3）v=;min=(x12+(x1+x2)*(x32+(x2-x1)2)(1/2)+(x5+x2)*(x42+(x5-x2)2)(1/2)*3.;(1/3)*3.14159*(x22+x2*x1+x12)*x3+(1/3)*3.14159*(x52+x5*x2+x22)*x4=v;x2x1;x5x2;Local optimal solution found.Objective value: 19738.99Extended solver steps: 5Total solver iterations: 215Variable Value Reduced CostV .0 0.X1 20.90986 0.X2 48.42993 0.X3 24.63198 0.X5 56.78547 0.X4 30.08211 0. Row Slack or Surplus Dual Price 1 0. -0.E-01 2 19738.99 -1. 3 0. -0.E-01 4 27.52007 0. 5 8. 0.顶管位置主要位于粉质粘土层，地下水位以下。开挖竖井过程中如出现异常地质情况，及时与设计单位联系，进行协商处理。施工前应与铁路供电段、电务段、通信段联系，首先探明铁路两侧施工范围内各种管线位置、埋深、并进行监护和防护。