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,概率论与数理统计,第六讲 离散型随机变量,经济数学基础,第二章 随机变量及其分布,在这一章我们将利用函数的观点对概率进行定量的研究,并导出一些常用的概率模型的分布。,我们有时需要高数中的积分作为工具。,首选引入随机变量,然后再引入分布函数,最后再引入常见的分布。,为了研究更复杂的随机现象,我们需要发展我们研究方法。,第一节 随机变量,例1 袋中有3只黑球,2只白球,从中任意取出3只球,观察取出的3只球中的黑球的个数,在随机试验中人们关心的很大一部分问题都与数值有关,如n个产品中的不合格品个数 : 0,1,2,n ,试验结果本身就是一个数值;有些试验结果虽然不是数值,但是我们关心的却是一个数值。,分析:我们将3只黑球分别记作B1,B2,B3号,2只白球分别 记作W1,W2号,则该试验的样本空间为(n=10),我们记 X=“取出的黑球数”, X 的取值情况可由下表给出:,则 X 的可能取值为1,2,3它随着样本点的不同而变化,因此X是一个变量但是X取什么值依赖于试验结果,试验结果具有一定的随机性,则X的取值带有随机性,所以,我们称 X 为随机变量,由上表可以看出,该随机试验的每一个结果都对应着变量 X 的一个确定的取值(注意不一定是一一对应,随机变量取各值概率未必相同),这样变量 X 是可以看做是样本空间上的函数:,我们定义了随机变量X的好处是:可以用随机变量的取值范围来刻划随机事件例如,=“表示至少取出2个黑球这一事件”,随机变量的定义,设E是一个随机试验,是样本空间称样本空间上的单值函数,为一个定义在上的随机变量。,随机变量通常用大写英文字母或希腊字母表示。,注:随机变量的严格(数学)定义与概率空间中的事件域有关。,掷一颗骰子,令X为出现的点数 则 X 就是一个随机变量它的取值为1,2,3,4,5,6问,X=4“掷出的点数不超过4”,X为偶数“掷出的点数为偶数”,则,x4与X为偶数是什么事件?,例 2,注意 X的取值是有限个!,例 3,一批产品有 50 件,其中有 8 件次品,42 件正品现从中取出 6 件,令 X:取出 6 件产品中的次品数 则 X 就是一个随机变量它的取值为 0,1,2,6则:,X=0=“取出的产品全是正品”,X1=”取出的产品至少有一件次品”,注意 X的取值是有限个!,例 4,每天上午 8:009:00 在某路口观察,令: Y“该时间间隔内通过的汽车数”, 则,(2)Y100=“通过的汽车数小于100辆”,(3)50Y=100=“通过的汽车数大于 50 辆但不超过 100 辆”,(1)Y 就是一个随机变量它的取值为 0,1,2,,注意 Y 的取值可列无穷个!,例 5,观察某生物的寿命(单位:小时),令: Z“该生物的寿命”。 则 Z 就是一个随机变量它的取值为所有非负实数,(2)Z3000表示该生物的寿命大于 3000小时这一随机事件,(1)Z=1500表示该生物的寿命不超过1500小时这一随机事件,注意 Z 的取值是不可数无穷个!,例 6,掷一枚骰子,在例2中,我们定义了随机变量X表示 出现的点数我们还可以定义其它的随机变量,例 如我们可以定义:,这样一个样本空间中我们可以定义很多很多随机变量。,在同一个样本空间上可以定义不同的随机变量,注 意 点 (1),(1) 随机变量X()是样本点的函数,,其定义域为 ,其值域为R=(,),若 X 表示掷一颗骰子出现的点数, 则 X=1.5 是不可能事件.,(2) 若 X 为随机变量,则 X = k 、 a X b 、 均为随机事件.,即 a X b =;a X() b ,(3) 注意以下一些表达式:,X = k= X kX k;,a X b = X bX a;, X b = X b.,(4) 同一样本空间可以定义不同的随机变量.,若随机变量 X 可能取值的个数为有限个或可列个,则称 X 为离散型随机变量. 连续型随机变量X 的可能取值充满某个区间a, b(或开区间或整个实轴),而它的定义需要用到积分形式。 除此以外,还有别的类型随机变量.,随机变量的分类,第二节 离散型随机变量,定义 如果随机变量的全部可能取的值只有有限个或可列个,则称这种随机变量为离散型随机变量。,一 离散型随机变量的概率分布,对于离散型随机变量,一方面我们关心随机变量取哪些值,例如在一批产品中随机抽取10件,我们要关心的是能够取到几件正品,更重要的是我们关心随机变量取这些值对应的概率,X 取各个可能值的概率,即事件 的概率为,(1),称(1)式为离散型随机变量X的概率分布或分布律 .,一般地,设离散型随机变量 X 所有可能取的值为,概率分布也可以直观地用下面的表格来表示:,分布列的基本性质,(非负性),(正则性),注 意 点,求离散随机变量的分布列应注意:,(1) 确定随机变量的所有可能取值;,(2) 计算每个取值点的概率.,例 2 10件产品中有7件正品,每次从中任取一件,试在下列三种情况下分别直到取得正品为止.求所需抽取次数X 的分布律 : (1) 每次取出的产品不再放回; (2) 每次取出的产品仍然放回; (3) 每次取出一件产品后总放回一件正品。,解,故所求概率分布为:,故所求概率分布为:,例3 某系统有两台机器相互独立地运转。设第一台与第二台机器发生故障的概率分别为0.1,0.2,以X表示系统中发生故障的机器数,求X 的分布律,解,故所求概率分布为:,练习,1 投两枚骰子,X表示最大点数,Y表示最小点数,分别写出X,Y的分布列。,由概率分布还可求出Xa,Xa, a Xb, aXb, aXb等事件的概率 上题:P(X 1)=?,二 常见的离散型分布,1.(01)分布,设随机变量 X 只可能取0与1两个值,它的概率分布是,则称 X 服从(01)分布或两点分布。,(01)分布的概率分布也可写成,T,H,对于一个随机试验,如果它的样本空间只包含两个元素,即 ,我们总能在W上定义一个服从(01)分布的随机变量。,来描述这个随机试验的结果。,检查产品的质量是否合格,对新生婴儿的性别进行登记,检验种子是否发芽以及前面多次讨论过的“抛硬币”试验都可以用(01)分布的随机变量来描述 。,2.二项分布,设试验 只有两个可能结果: 及 , 则称 为伯努利(Bernoulli)试验。设 ,此时 ,将E 独立地重复地进行n次,则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验。,若随机变量X的概率分布为,例4 已知某类产品的次品率为0.2,现从一大批这类产品中随机地抽查20件,问恰好有k(k=0,1,2,20)件次品的概率是多少?,解 以X记抽出的20件产品中次品的件数,那么X是一个随机变量,且X b(20,0.2) 则所求的概率为,将计算结果列表如下:,作出上表的图形,如下图所示,设k=k0时P(X=k) 取最大值,则k0满足,由第一式有,即,同理,二项分布中,使概率P(X=k) 取最大值的k0称为二项分布的最可能值。,其中(n+1)p表示不超过(n+1)p的最大整数。,所以,练习,1.口袋中有3只黑球,2只红球,放回式摸球,摸球3次,每次1只,这3次摸球摸到2只黑球的概率是多少?(如果是不放回,摸到2只黑球的概率是多少) 2某人每次射击命中率都为0.6,射击20次,求(1)恰好4次没有击中的概率 (2)最有可能击中多少次 (3)已知此人前三次都没有击中,求第四次击中的概率。,记为 X h(n, N, M).,超几何分布对应于不放回抽样模型 :,N 件产品中有 M件次品 ,,从中抽取n个,次品的个数为X .,3.超几何分布,练习:某班级共有30名男同学,20名女同学,现任找5名同学,求(1)其中恰好有1名女同学的概率。 (2)已知这5名同学中有1名女同学,求其余四人都是男同学的概率,4.泊松分布,例5 商店的历史销售记录表明,某种商品每月的销售量服从参数为l= 5的泊松分布。为了以95%以上的概率保证该商品不脱销,问商店在月底至少应进该商品多少件?,解,由附录的泊松分布表知,只要在月底进货9件(假定上个月没有存货),就可以95%的概率保证这种商品在下个月内不会脱销 。,泊松定理 设随机变量Xn服从二项分布,其概率分布为,其中pn为事件发生的概率它与试验次数n有关。,证明:记=npn,有,对于任意固定的k,有,泊松定理表明,泊松分布是二项分布的极限分布, 当n很大,p很小时,二项分布就可近似地 看成是参数=np的泊松分布,在Bernoulli试验中,,将试验进行到 A 首次出现为止,X“所需实验次数”,则X服从几何分布即:,5.几何分布,例 7,对同一目标进行射击,设每次射击时的命中率 为0.64,射击进行到击中目标时为止,令: X:所需射击次数 试求随机变量 X 的分布律,并求至少进行2次射击 才能击中目标的概率 解:X1,2,3, 这是一个几何分布。,得PX2的概率为:,练习:某人射击,每次命中率都为0.6,他有4发子弹,射击直到击中或子弹打光时为止,X表示此人射击次数,求 X的分布律,
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