第二节 定积分在几何上的应用 一平面图形的面积1.直角坐标情形例1 求由两条抛物线及所围图形的面积.解 (1)画草图,求交点.解方程组得交点.(2)选取积分变量,并确定积分区间.取为积分变量,积分区间为.在上任取一个小区间,则面积元素,(3)故所求面积为.如果取为积分变量,则积分区间为.在上任取一个小区间,则面积元素,故所求面积为.注:在直角坐标系下求平面图形的面积时,既可取为积分变量,也可取为积分变量.原则是:(1)所求积分简便;(2)面积元素最好由一个式子表示.例2 求由及所围成的平面图形的面积.解 (1) 画草图,求交点.解得交点.(2) 取为积分变量,则积分区间为,在上任取一个小区间,则面积元素(3)故所求面积为.如取为积分变量,则积分区间为,则面积元素故所求面积为.显然取为积分变量较繁!例3 求所围图形的面积.解 由对称性知:,其中是椭圆在第一象限的面积.=.由椭圆的参数方程得.故所求面积为=.2.极坐标情形设曲边扇形:所围成,如图:取为积分变量,则积分区间为,则面积元素为,所求面积为.例 求心形线所围图形的面积.解 由对称性知:.取为积分变量,则积分区间为,在上任取一个小区间,则面积元素为,故所求面积为=.例 求由所围公共部分的面积.解 求交点.解得交点.由对称性知.而.故所求面积为=.二体积1.旋转体的体积旋转体是由平面图形绕该平面内的一条定直线旋转一周而生成的立体.定直线称为旋转轴.下求如图所示平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积.取为积分变量,积分区间为,在上任取一个小区间,则体积元素故所求旋转体的体积为.例 求由所围图形分别绕轴与绕轴所得旋转体的体积.解 (1) 绕轴:取为积分变量,积分区间为,在上任取一个小区间,则体积元素,所以.(2) 绕轴:取为积分变量,积分区间为,在上任取一个小区间,则体积元素,所以.例 求由摆线的一拱,所围图形分别绕轴与绕轴旋转而成的旋转体的体积.解 (1) 绕轴:取为积分变量,积分区间为,在上任取一个小区间,则体积元素,所以.(2) 绕轴:取为积分变量,积分区间为.则体积元素为,所以=.注:对于旋转体,取积分变量的原则是:如果旋转轴平行于哪条坐标轴,则取该坐标轴对应的变量为积分变量.2.平行截面面积已知的立体的体积若已知一立体垂直于某一定轴的截面的面积,则可用定积分计算该立体的体积.如图:取定轴为轴,则体积元素为,故所求体积为.例 一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角(如图).求该平面截圆柱体所得立体的体积.解 取平面与圆柱体的底面的交线为轴,底面上过圆中心且垂直于轴的直线为轴.则底圆方程为.取为积分变量,积分区间为,则体积元素为=,故所求体积为三平面曲线的弧长对于平面上的光滑曲线是可求长的.1.直角坐标情形设曲线弧在直角坐标系下的方程为其中在上有一阶连续导数.下求该曲线弧的长度.取为积分变量,积分区间为,在上任取一个小区间,则弧微分,所以弧长元素(弧微分).故所求弧长为.如果曲线弧的方程为,且在上有一阶连续导数.则取为积分变量,积分区间为,则弧微分,故所求弧长为.例 求曲线的弧长.解 因为,所以.取为积分变量,积分区间为,则弧长元素为.故所求弧长.2.参数方程情形设曲线弧的参数方程为 .其中在上有连续导数.求该曲线的弧长.取参数为积分变量.则积分区间为,则弧长元素.故所求弧长.例 求曲线自到的一段弧的弧长.解 ,则弧长元素.故所求弧长.3.极坐标情形设曲线弧的极坐标方程为, .其中在上有连续导数.求该曲线弧的弧长.由直角坐标与极坐标的关系 将看成参数,则弧长元素,故所求弧长为.例 求曲线的长度.解 8