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高等数学下模拟试卷一一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)。在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1. 微分方程的通解是( )A、 B、 C、 D、 2. 函数在点处沿( )的方向导数最大A. B. C. D. 3. ,则( )A. 2 B. C. 0 D. 24. 原点到平面的距离 ( ) A. B. C. D. 5. 曲线在面上的投影曲线为( )A. 直线 B. 抛物线 C. 圆 D. 点 6. 若级数收敛,则级数( )A、收敛 B、发散 C、收敛且 D、可能收敛可能发散 7. 是抛物线上从点到点的一段弧,则曲线积分为()A、1/2 B、3/2 C、2/3 D、1 8. 为环形域:,则()A B C D. 9. 设是平面被柱面截出的有限部分,则( )A、 B、 C、 D、 10. 设是周期为的周期函数,它在上的表达式为,则展开成傅里叶级数,其系数( )A、 B、 C、 D、二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)11. 函数当时的全微分_. 12. 极限 .13. ,则_. 14. 设,则_.15交换积分次序_ 16. 设,则与之间的夹角为_17. _. 18. 函数展开成的幂级数为_19幂级数的收敛半径是_. 20若过曲面上点处的切平面平行于平面,则点的坐标为_三、求解下列各题(本大题共6小题,每小题8分,共48分)。21过点作平面的垂线,求该直线的方程及垂足的坐标。. 22. 求函数在条件下可能的极值点。 23计算,其中为圆周,取逆时针方向。24. 求其中是介于之间的圆柱体的整个表面的外侧。. 25. 求,其中是由和围成的区域。26. 求微分方程的通解。四、应用题(本题6分) 27. 设平面薄片所占的闭区域由直线和轴所围成,它的面密度,求该薄片的质量。五、证明题(6分)28. 用级数收敛的必要条件证明:参考答案与评分标准一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)。A A C D A, B C D B D二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 三、求解下列各题(本大题共6小题,每小题8分,共48分)21. 解:直线方程为 (4分)即参数方程为 代入平面方程得: (6分)故垂足为 (8分)22.解:拉格朗日函数为 (3分) (5分)解方程组 得: (7分) 故可能的极值点是及 (8分)23. 解: (2分) 原式 (8分)24. 解: (3分) 原式 (8分)25. 解:原式 (6分) (8分)26. 解:特征方程为: 所以的通解为 (4分)设特解为 (6分)代入原方程求得:故通解为 (8分)四、应用题(本题6分)27. 解: (6分)五、证明题(6分)28、证明:对正项级数 (4分) 所以收敛 故: (6分)
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