高等代数在中学解题中的应用数学与计算机科学学院 数学与应用数学专业 101301028 陈盛指导教师 黄坤阳 讲师 【摘要】高等代数作为初等数学与高等数学的纽带，可见高等数学与中学数学有着密切的联系。将高等代数与中学数学解题联系在一起有着其必然的意义。本文阐明高等代数在中学数学解题中的应用意义，并归纳和总结了高等代数在中学数学解题中常用的知识点，主要从行列式在中学数学解题中的应用、矩阵在中学数学解题中的应用、线性方程组在中学数学解题中的应用三个方面进行解析。【关 键 词】行列式；矩阵；线性方程组Application of Higher Algebra in middle school in problem solvingScienceSchool of mathematics and Computer Sciences, mathematics and applied mathematics 101301028 Chen ShengInstructor Huang Kunyang lecturer【Abstract】:the higher algebra as the link of elementary mathematics and higher mathematics, visible and middle school mathematicsmathematics are closely linked. The higher and middle school mathematics solving algebraic problems together with its inevitablesignificance. This paper explains that the application significance of Higher Algebra in middle school mathematics, and summarizes the common higher algebra in middle school mathematicsknowledge, mainly carries on the analysis from the application,determinant in middle school mathematics matrix of three aspects of application, in middle school mathematics linear equations in middle school mathematics the.【Keywords】:determinant; matrix; linear equations 引言:高等代数是高等学校的一门基础课程，它也是数学专业的一门敲门砖。它是连接初等数学与高等数学的纽带。由于高等代数本身具有较强的逻辑抽象性以及较强的理论性，因此它在提高人的思维能力和抽象概括能力，以及人素质的全面发展起着重要的作用。用高等数学的知识理论去解决中学的数学问题，就是站在一个较高的角度去领会数学思想去认识数学，在真正意义将数学知识融会贯通。本文将从行列式；矩阵；线性方程组等高等代数内容去指导解决中学数学问题。1 行列式在中学数学解题中的应用 行列式在多项式理论、微积分及线性代数中它都被视为最基本的数学工具，可见行列式有着重要的应用。行列式的应用也越来越受到人们的关注。随着新课程的改革,行列式不断的向中学数学中的渗透。根据中学数学中出现的一些类型题并结合行列式知识进行解答。下面从行列式在证明等式、分解因式、解决解析几何、一次方程组问题等三个方面进行归纳。1.1 用行列式证明等式二阶行列式定义：三阶行列式定义： 在运用行列式证明等式时，首先要观察等式的结构，与上述定义进行比较，通过变形得到相应行列式。例1 已知，求证证明：令则，即例2 已知，求证证明：由题意有又所以例 3已知，求证：.证明：令.则有，即1.2 用行列式分解因式由行列式的定义可知，一个N阶行列式对应一个2N多项式（N2）。分解因式的过程可以看出将多项式通过适当的变形转化成相应的行列式，再根据行列式的性质提取出公因式。即把一个多项式看成两个因式乘积的差，而即(均为代数式)，于是.再根据行列式的性质，从而达到对某些多项式进行因式分解.例4分解因式.解:例5分解因式 。解： 例6分解因式解： 1.3 行列式在解析几何中的应用 在解析几何中应用行列式可以求解：三角形面积；两点式直线方程解析式；三点共线条件；三条直线共点的条件。定理1（1）以平面内三点为顶点的的面积 . （2）通过两点的直线方程为. （3）平面内三条直线 .相交 于一点或互不相平行的必要条件是：.推论平面上三点在一条直线上的充要条件是例7 如下图所示，已知A(2,6)、B(1，3)、C(4,4)。 （1）、求BC的直线解析式。 （2）、若，问ABC三点是否共线。 （3）、求的面积。 解：（1） 由题意可知BC直线解析式为： 即：（2） 因为： 所以，A、B、C三点共线。（3） 根据题意： 例8判断直线 是否共点。解：依题意：，所以三直线共点。定理2通过平面上三点的圆的方程为.例9已知圆经过三点,求圆的方程。解：依据题意得圆的方程为： 即圆的方程为：2 矩阵在中学数学解题中应用矩阵本身作为高等代数研究的内容之一，它也是数学研究的重要工具。随着人们数学素养的不断提高，为了满足人们发展和社会进步的需要，现在的中学数学中不断的穿插着高等数学内容。“矩阵与变换”早已成为普通高中数学选修模块的内容之一。可见矩阵在中学学习的重要意义，矩阵的变换为研究映射提供了一个新的平台，其次矩阵的学习也为解线性方程组开辟了一条新模式。在应用矩阵解决中学数学问题时，要充分掌握矩阵运算的法则以及矩阵的性质。2.1 中学数学中矩阵与变换中学数学中由矩阵建立的变换就是平面上的坐标变换。坐标在矩阵的变换下得到新的坐标，即将其转换为线性方程组我们会发现，是变换矩阵也是一种映射，线性映射是重要的映射，自身映射就是变换，而线性变换是一种最简单也是最重要的变换。特别要注意的是矩阵变换是左乘变换矩阵。例10 假如某城市的天气预报分为晴和阴两种状态，若今天晴，则明天晴的概率为，阴的概率为；若今天阴，则明天晴的概率为,阴的概率为，如果天气预报报告今天阴的概率为，那么明天的天气预报会是怎么样？解：根据马尔科夫概率模型，转移矩阵为，则明天的天气预报情况为。明天晴的概率为：；明天阴的概率为：2.2 运用矩阵的秩判断点之间关系定义向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩 我们把矩阵的每行看出一个向量，利用行秩与列式数的关系，来判断矩阵中元素是否线性相关从达到运用矩阵秩判断点与点之间的关系。推论：设空间上四点的坐标为,令 ，r为A的秩。 （1），当r4时，四点共面 （2），当r=2时，四点共线 （3），当r=1时，四点重合推论：设平面上三点的坐标为,令，r为A的秩，当3时，三点共线。例12：已知四边形ABCD是矩形，M、N分别是AD、BC的中点，P是CD上一点，Q是AB上一点，CP=BQ=3，CD=4，AD=2，PM与QN相较于R，求证：R,A,C三点共线。解：由题可知：Q(1，0),P(1，2),N(4，1)M(0，1),A(0,O),C(4,2)直线RQN的直线方程为： 直线RMP的直线方程为：由（1）、（2）可得R点坐标为（-2，-1）又因为： 即R,A,C三点共线。2.3 利用矩阵的秩判断两直线位置关系定理2 设空间两直线：， 设矩阵的秩为,矩阵的秩为 （1），当=4时，两直线异面； （2），=2时，两直线重合； （3），=3时，两直线相交； （4）=3，=2时，两直线平行；例13 判断两直线和的位置关系.解 ：由题意的矩阵故=2，所以直线与直线重合.3 线性方程组在中学数学解题中的应用 线性方程组是高等代数的重要内容之一，线性方程组与矩阵、向量之间有着密切的联系，因此将线性方程组在解决中学数学问题有着重要的应用。而线性方程组的消元法，是线性方程组的曾广矩阵行的初等变换，这为线性方程组解的求解提供了快捷的方式。引理：如果齐次线性方程组 的系数矩阵的行秩rn，那 么它又非零解。例14 已知，且, 求证证明：由题意可知： 有非零解， 则， 将其展开得：例15 解方程组解：由题意可得增广矩阵： 得 解得： 4 总结 高等代数的知识可以做为一种工具来解决中学数学的问题，而构造法在运用中起着很重要的作用，这就要求中学生有着丰富的知识储备、良好的知识结构、和发散性思维。因此运用高等代数解决中学数学问题是知识的一种融会贯通，是发展学生的发散和聚合思维。让学生体会到数学的每个分支都有着内在联系，都可以当做一种解决问题的工具。参考文献1周宁, 夏益斌. 行列式在解析几何中的应用J. 昆明冶金高等专业学校学报, 2011, 27(1): 61-69 2杨文茂、李全英. 平面解析几何习题集M. 武汉:武汉大学出版社, 2005. 66-68 3高等代数在初等数学中的应用EB/OL. http:/wenku.baidu.com/view/1e3b431d0912a21614792987.html. 4王萼芳、石生明. 高等代数（第三版）M. 北京:高等教育出版社, 2003. 5张宗国. 马尔科夫链在太湖流域梅雨期预测报告中的应用J. 河海大学学报, 2006, (01): 116-117 6安芹力. 用矩阵秩判断两空间直线及直线与平面的位置关系Z. 空军工程大学导弹学院数学研究室: 高等数学研究,2005. 10