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1 不等式和绝对值不等式不等式和绝对值不等式 一、不等式一、不等式 1、不等式的基本性质: 、对称性: 传递性:_ 、 ,a+cb+c 、ab, , 那么 acbc; ab, ,那么 acbc 、ab0, 那么,acbd 、ab0,那么 anbn.(条件 ) 、 ab0 那么 (条件 ) 2、基本不等式 定理 1 如果 a, bR, 那么 a2+b22ab. 当且仅当 a=b 时等号成立。 定理 2(基本不等式) 如果 a,b0,那么 当且仅当 a=b 时,等号成立。即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。 结论: 已知结论: 已知 x, y 都是正数。(都是正数。(1) 如果积) 如果积 xy 是定值是定值 p, 那么当, 那么当 x=y 时, 和时, 和 x+y 有最小值有最小值 2 ; (2)如果和)如果和 x+y 是定值是定值 s,那么当,那么当 x=y 时,积时,积 xy 有最大值有最大值 小结: 理解并熟练掌握基本不等式及其应用, 特别要注意利用基本不等式求最值时, 一 定要满足“一正二定三相等一正二定三相等”的条件。 3、三个正数的算术-几何平均不等式 二、绝对值不等式二、绝对值不等式 1、绝对值三角不等式 实数 a 的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为 a 的点 A 到原点的距离: abbacacbba , Rcba , 0c 0c 0 dc 2,nNn 2,nNn 2 ab ab 2 1 4 s p 3 3 , , 3 abc a b cRabc abc 定理如果,那么,当且仅 当时,等号成立。 即:三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。 2 12 12 2 , , , n n n n n aa aaa a aa n aa 1 1 把基本不等式推广到一般情形:对于n个正数a 它们的算术平均不小于它们的几何平均, 即: 当且仅当a时,等号成立。 2 任意两个实数 a,b 在数轴上的对应点分别为 A、B,那么|a-b|的几何意义是 A、B 两点间 的距离。 定理 1 如果如果 a, b 是实数,则是实数,则 |a+b|a|+|b| , 当且仅当当且仅当 ab0 时,等号成立。 (绝对值三角不等式)时,等号成立。 (绝对值三角不等式) 如果 a, b 是实数,那么 |a|-|b|ab|a|+|b| 定理 2 如果 a, b, c 是实数,那么 |a-c|a-b|+|b-c| , 当且仅当(a-b)(b-c)0 时,等号成立。 2、绝对值不等式的解法 (1)|ax+b|c 和|ax+b|c(c0)型不等式的解法: 换元法:令 t=ax+b, 转化为|t|c 和|t|c 型不等式,然后再求 x,得原不等式的解 集。 分段讨论法: 用绝对值不等式的几何意义 零点分区间法 构造函数法 00 |(0) () axbaxb axbc c axbcaxbc 或 00 |(0) () axbaxb axbc c axbcaxbc 或 型不等式的解法 和)(cbxaxcbxax2 3 典型例题典型例题 例 1 解不等式 例 2 解不等式|x+3|-|x-3|3。 例 3 解不等式|x 2-3|x|-3|cac,找到不等号的两边的中间量,从而使不 等式成立。 注意:注意:应用放缩法时,放大(缩小)一定要适当。 规律方法指导规律方法指导 1、不等式证明的常用方法:1、不等式证明的常用方法: 比较法,综合法,分析法,反证法,放缩法,换元法等。 2、反证法的证明步骤:2、反证法的证明步骤: 否定结论:假设命题的结论不成立,即结论的反面成立; 推出矛盾:由结论反面成立出发,通过一系列正确的推理,导出矛盾; 否定假设:由正确的推导导出了矛盾,说明假设不成立; 肯定结论:原命题正确。 3、放缩法的常用技巧:3、放缩法的常用技巧: 在恒等式中舍掉或者加进一些项; 在分式中放大或缩小分子或分母; 例如: 应用函数的单调性、有界性等性质进行放缩; 例如:f(x)为增函数,则 f(x-1)0, ab, a+b0, (a-b)20, , . 总结升华:总结升华:作差,变形(分解因式、配方等) ,判断差的符号,这是作差比较法证明不 等式的常用方法。 举一反三:举一反三: 【变式 1】证明下列不等式: (1)a2+b2+22(a+b) 7 (2)a2+b2+c2+32(a+b+c) (3)a2+b2ab+a+b-1 【变式 2】已知 a,b,x,y,且 a+b=1,求证:ax2+by2(ax+by)2 2、用作商比较法证明下列不等式: (1) (a,b 均为正实数,且 ab) (2)(a,b,c,且 a,b,c 互不相等) 证明:证明: (1)a3+b30, a2b+ab20. , a, b 为不等正数, (2)证明: 不妨设 abc,则 所以, 总结升华:总结升华: 当不等号两边均是正数乘积或指数式时, 常用这种方法, 目的是约分化简. 作 商比较法的基本步骤:判定式子的符号并作商变形 判定商式大于 1 或等于 1 或小于 1 结论。 8 举一反三:举一反三: 【变式 1】已知 a2,b2,求证:a+b6abc 证明:证明: 法一:法一:由 b2+c22bc, a0,得 a(b2+c2)2abc, 同理 b(c2+a2)2abc,c(a2+b2)2abc a,b,c 不全相等,上述三个等号不同时成立, 三式相加有:a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc. 法二:法二:a,b,c 是不全相等的正数, a(b2+c2), b(c2+a2), c(a2+b2)均为正数, 由三个数的平均不等式得: a(b2+c2)+b(c2+a2)+ c(a2+b2) 不等式成立. 总结升华:总结升华:综合法是由因导果,从已知出发,根据已有的定义、定理,逐步推出欲证的 不等式成立。 举一反三:举一反三: 【变式 1】a , b, mR+,且 ab0,求证:. 9 思路点拨:思路点拨:不等号左边是一个各项皆正的“和的形式” ,但左侧是两项而右侧都出现了 特征数“3”.因此启发我们将左侧拆成 3 项的和利用平均值定理. 证明:证明:, ab0, a-b0, b0, , , (当且仅当,即 a=2,b=1 的等号成立) 举一反三:举一反三: 【变式】x, y,zR+, 求证: 类型三:分析法证明不等式类型三:分析法证明不等式 5、已知 a,b0,且 2ca+b,求证: 证明:证明:要证, 只需证: 即证:,a2-2ac+c20,xy,求证: 类型四:反证法证明不等式类型四:反证法证明不等式 6、已知 a,b,c(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a,至少有一个不大于。 思路点拨:思路点拨:此题目若直接证,从何处入手?对于这样正面情况较为复杂的问题,可以考 虑使用反证法。 证明:证明:假设原结论不成立,即, 则三式相乘有: 又00,abc0,求证:a,b,c0 类型五:放缩法证明不等式类型五:放缩法证明不等式 7、若 a,b,c,dR+,求证: 思路点拨:思路点拨:记中间 4 个分式之和的值为 m,显然,通过通分求出 m 的值再与 1、2 比大 小是困难的,可考虑运用放缩法把异分母化成同分母。 证明:证明:记 a,b,c,dR+, 12,求证:a+b0,求证: 思路点拨:思路点拨:由于 a0,b0,所以求证的不等式两边的值都大于零,本题用作差法,作 商法和综合法,分析法给出证明。 证明:证明: 13 证法一:证法一:作差法 a,b0,a+b0,ab0 ,得证。 证法二:证法二:作商法 a0,b0,a+b0, 得证。 证法三:证法三:分析法 要证,只需证 a3+b3(a+b)ab 只需证(a+b)(a2-ab+b2)(a+b)ab(a+b0) 只需证 a2-ab+b2ab 只需证(a-b)20 (a-b)20 成立,得证 证法四:证法四:综合法 a0,b0, 同向不等式相加得: 举一反三:举一反三: 【变式】已知都是实数,且求证:
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