数学分析复旦第三版答案【篇一：复旦数学分析答案第四章1、2节】 题 4.1 微分和导数 半径为 1cm的铁球表面要镀一层厚度为0.01cm的铜，试用求微 分的方法算出每只球需要用铜多少克？（铜的密度为8.9g/cm3。） 解 球体积v ?43 ?r 3 ，每只球镀铜所需要铜的质量为 2 m?v?4?r?r?1.12 g。 ?0 用定义证明，函数y点之外都是可微的。 证 当x?0时，?y?微。当x?0时，?y? ? 3 x2 在它的整个定义域中，除了x这一 ?x 2 是?x的低阶无穷小，所以y ? x2 在x?0不可 ?x?x?o(?x), 所以y ? x2 在x?0是可微的。习 题 4.2 导数的意义和性质 1 设f?(x0)存在，求下列各式的值： lim ?x?0 f(x0?x)?f(x0) ?x ； lim x?x0 f(x)?f(x0) x?x0 ； 。 f(x0?(?x)?f(x0) (?x) ?f(x0)。 lim h?0 f(x0?h)?f(x0?h) h 解 (1)lim f(x0?x)?f(x0) ?x f(x)?f(x0) x?x0 ?x?0 ?lim ?x?0 x?x0 lim?lim f(x0?(x?x0)?f(x0) x?x0 x?x0?0 ?f(x0)。 lim f(x0?h)?f(x0?h) h f(x0?h)?f(x0) h h?0 f(x0?h)?f(x0) h h?0 ?lim h?0 ?lim ?2f(x0) 。 2 用定义求抛物线y?2x2?3x?1的导函数； 求该抛物线上过点(?1,?2)处的切线方程； 求该抛物线上过点(?2,1)处的法线方程； 问该抛物线上是否有(a,b)，过该点的切线与抛物线顶点与焦点的连线平行？ 解 (1)因为 ?y?x ? 2(x?x)?3(x?x)?1?(2x?3x?1) ?x f(x)?lim ?y?x ?4x?3。 2 2 ?4x?3?2?x，所以 ?x?0 (2)由于(3)由于 f(?1)?1，切线方程为y?1?x?(?1)?(?2)?x?3。 f(?2)?5，法线方程为y? 1?5 x?(?2)?1? x?75 。 (4) 抛物线顶点与焦点的连线平行于y轴，即斜率为无穷大，由(1)可知不存在x，使得f(x)?，所以这样的点(a,b)不存在。 3设f(x)为(?,?)上的可导函数，且在x?0的某个邻域上成立 f(1?sinx)?3f(1?sinx)?8x?(x)， 其中?(x)是当x?0时比x高阶的无穷小。求曲线y?处的切线方程。 解 记f(x)?由lim lim f(x)x x?0 f(x)在(1,f(1) 可得limf(x)?2f(1)?0，即f(1)?0f(1?sinx)?3f(1?sinx)， x?0 。 ?lim 8x?(x) x x?0 ?8 与 ， f(x)x x?0 ?f(1?sinx)?f(1)sinx?f(1?sinx)?f(1)sinx? ?lim?3lim?4f(1)?x?0x?0sinxx?sinxx? 得到f(1)?2。于是曲线y?f(x)在(1,f(1)处的切线方程为y?2(x?1)。 4 证明：从椭圆的一个焦点发出的任一束光线，经椭圆反射后，反 射光必定经过它的另一个焦点。 （见图4.2.5） 证 设椭圆方程为 xa 22 ? yb 22 ?1，a?b?0，焦点坐标为 a?b 2 2 (?c,0),c? 。假设(x0,y0)为椭圆 上任意一点，当y0斜率为tan? ? bx0ay0 22 ?0时结论显然成立。现设y0?0，则过此点的切线 y0x0?c 2 2 ，(x0,y0)与焦点(?c,0)连线的斜率为tan?1?，和 此连线与切线夹角的正切为k x0a 22 ? tan?1?tan?1?tan?1tan? 。利用c2 ?a?b ? y0b 2 2 ?1代入计算，得到y0 k? x0?c1? y0 ? bx0ay0?bx0 222 2 ? ay0?bx0?cx0b 2 2 2 22222 (a?b)x0y0?acy0 ? ab?cx0b 2 2 222 cx0y0?acy0 ? b 2 cy0 。 x0?cay0 (x0,y0)与另一焦点(c,0)连线的斜率为tan?2? y0x0?c ，此连线与切线 夹角的正切为 tan?tan?21?tan?tan?2 ? bx0ay0 y0 22 ? y0x0?cbx0 2 ? cx0b?ay0?bx0 2 2 2 22222 1? ?2 x0?cay0 (a?b)x0y0?acy0 ? cx0b?ab 2 2 222 cx0y0?acy0 ? b 2 cy0 ?k 。 由于两个夹角的正切相等，所以两个夹角相等，命题得证。 5证明：双曲线xy ?a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的直角三 2 角形的面积恒为2a。 证 假设(x0,y0)为双曲线上任意一点，则x率为yx ? y0?a 2 ，过这一点的切线斜 a 22 x0 ? y0x0 ，切线方程为 y?y0? y0x0 (x?x0)， 易得切线与两坐标轴的交点为(0,2y0)和(2x0,0)。切线与两坐标轴构成的直角三角形的面积为 s? 12 (2y0)(2x0)?2x0y0?2a 2 。 6 求函数在不可导点处的左导数和右导数。 y y ?|sinx|； y ?cosx ； ?e?|x|； ?f(x)?|sinx| y?|ln(x?1)|. 解 （1）对y，当x?0时，f?(0)?lim |sin?x|?|sin0| ?x |sin?x|?|sin0| ?x ?x?0? ?lim sin?x?x?x?sin?x ?x?0? ?1， ?1， f?(0)?lim ?x?0? ?lim ?x?0? 所以x?0是不可导点。又由于函数y是周期为?的函数，所有不可导点为x?k? （2）y为x?2k? (k?z)，且f?(k?)?1，?f(x)?f?(k?)?1。 ? x2 ?，由（1）可知不可导点 2 (k?z)，且经计算得到f?(2k?)?|x| ，f?(2k?)? 2 。 （3）y? ? f(x)?e 不可导点只有x?0，且 e ?x f(0)?lim ?1 ?x?0? ?x ?1，f(0)?lim ? e ?x ?1 ?x?0? ?x ?1。 （4）y? f(x)?ln(x?1)f?(0)?limf?(0)?lim 不可导点只有x?0，且 ?1， ?x ?ln(?x?1) ?lim?1。 ?x?0?x?lim ?x?0? |ln(?x?1)|?ln1?x |ln(?x?1)|?ln1 ?x ln(?x?1) ?x?0? ?x?0? 7讨论下列函数在x ?|x|1?asiny? ?0, 1x ?0处的可导性： ,(a?0)x?0,x?0; ?x2,y? ?ax?b, a ?ex2,y? ?0, x?0,x?0;x?0,x?0. ?xex, y?2 ?ax, x?0,x?0; 1?a 解 （1）?lim x?0 ?y?x |?x|?lim ?x?0 sin 1 ?lim?|?x|asgn(?x)sin1?0 ?x?0x? ?x ，所以函数 在x?0可导。 （2）如果函数在x?0可导，则必须在x?0连续，由f(0?)?可得b?0。当b?0时，f ? f(0)?b (0)?lim ?x?0?x 2 ?x?0? ?0，f?(0)?lim a?x?0?x ?x?0? ?a ，【篇二：复旦数学真题有答案】?a?bc,y?b?ac,z?c?ab，65、已知是不完全相等的任意实数。若 则x,y,z的值_。 a、都大于0； b、至少有一个大于0； c、至少有一个小于0； d、都不小于0 2 x66、已知关于x的方?6x?(a?2)|x?3|?9?2a?0有两个不同的实数根，则系 数a的取值范围是_。 a、a?0或a?2； (x? 12 b、a?0； 1 n)1 c、a?2或a?0； d、a?2 2x4的展开式中，若前3项的系数成等差数列，则展开式的67、在二项式 有理项的项数为_。 a、2； b、3；c、4；d、5 68、设1和2为平面上两个长度为1的不共线向量，且它们和的模长满足 |a1?|a2|?。则(2a1?5a2)?(3a1?a2)?_。 1a、2； ?1 2； b、 11c、2； 11d、2 ? 69、在复平面上，满足方程zz?z?z?3的复数z所对应的点构成的图形是_。 a、圆； b、两个点； c、线段； d、直线 70、在如图所示的棱长均为1的正四面体abcd中，点m和n分别是边ab和cd的中点。则线段mn的长度为_。 1 a、2； 1 c、； b、2； d、2 2y71、过抛物线?2px(p?0)的焦点f作直线交抛物线于a、b两点，o为抛物线 的顶点。则三角形abo是一个_。a、等边三角形； b、直角三角形； c、不等边锐角三角形； d、钝角三角形 72、设f(x)的定义域是全体实数，且f(x)的图形关于直线x?a和x?b对称，其中a?b。则f(x)是_。 a、一个以b?a为周期的周期函数； c、一个非周期函数； b、一个以2b?2a为周期的周期函数 d、以上均不对。 100 (1?x)73、二项式的展开式中系数之比为33：68的相邻两项是 _。 a、第29、30项； b、第33、34项； c、第55、56项； d、81、82项 74、方|x?3| (x2?8x?15)/(x?2)