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17.实数解读课标人类对数的认识是在生活中不断加深和发展的,数系的每一次扩张都源于实际生活的需要,在非负有理数知识的基础上引进负数,数系发展到有理数,这是数系的第一次扩张;但随着人类对数的认识不断加深和发展,人们发现现实世界中确实存在不同于有理数的数无理数.在引入无理数的概念后,数系发展到实数,这是数系的第二次扩张.理解无理数是学好实数的关键,为此应注意:1.把握无理数的定义:无理数是无限不循环小数,不能写成分数的形式(这里p,q是互质的整数,且p0);2.掌握无理数的表现形式:无限不循环小数,与相关的数,开方开不尽得到的数等;3.澄清一些模糊认识;4.明确无理数的真实性.问题解决例1 已知实数x,y满足,则代数式的值为 . (北京市海淀区中考题)试一试 运用非负数性质,求出x,y值.例2 下面有3个结论:(1)存在两个不同的无理数,它们的差是整数;(2)存在两个不同的无理数,它们的积是整数;(3)存在两个不同的非整数的有理数,它们的和与商都是整数.其中正确的结论有( )个A.0 B.1 C.2 D.3 (江苏省竞赛题)试一试 看能否构造出符合要求的数.例3 若实数a,b,c满足关系式,试确定c的值. (北京市竞赛题)试一试 观察发现(a-199+b),(199-a-b)互为相反数,由算术平方根的定义、性质探寻解题的突破口.例4 设x,y都是有理数,且满足方程,求x-y的值.试一试 将等式整理成有理数、无理数两部分,运用相关性质挖掘隐含的x,y的值.例5 设求的值(用含n的代数式表示,其中n为正整数). (四川省成都市中考题)寻找公元前5世纪,古希腊人点燃的无理数的火种,照亮了实数的广阔天地,但人类很久不能分享这甘美的“人类智慧之果”.直到19世纪后期,著名数学家魏尓斯特拉斯、戴德金、康托的杰出贡献,为无理数、实数理论的建立打下了坚实的基础.例6 可以用有理数形式表示如下: (2)纸是人们学习工作不可或缺的物品,而纸的尺寸是怎样确定的呢? 印刷厂工人把一张长方形的标准纸(如下图),对折1次,分为两半,每一张都是原来的,称为对开(即2开);对折2次,得张,每一张都是原来的,称为4开;对折3次,得张,每一张都是原来的,称为8开对折5次,得=32张,每一张都是原来的,称为32开. 一张国际标准储存的纸,应符合下列两个条件:它的面积是1;经过若干次对开,所得各种大小不同的长方形形状都相同(即长和宽之比都相等).这张国际标准尺寸纸的长和宽到底各是多少呢?(精确到1毫米)(3)正则难反:请证明为无理数.数学冲浪知识技能广场1.已知a,b为两个连续的整数,且ab,则a+b= . (宁夏中考题)2.实数a,b在数轴上的位置如图所示:,化简 . (山西省中考题)3.若代数式有意义,则实数x的取值范围是 . (2015年湖北省随州市中考题)4.观察下列等式:,对于一般的自然数n,将有等式 .5. 数轴上表示1,的对应点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,则点C所表示的数是()A. -1 B.1- C.2- D.-26.若x,y为实数,且,则的值为( ).A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 (天津市中考题)7. 若 (k是整数),则k=().A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 (2015年江苏省杭州市中考题)8. 若,则x-y的值为( ).A.-1 B.1 C.2 D.3 (湖北省荆门市中考题)9. 在下面两个集合中各有一些实数,请你分别从中选出2个有理数和2个无理数,再用“+,,”中的3种符号将选出的4个数进行3次运算,使得运算的结果是一个正整数. (江苏省杭州市中考题)10.计算:. (广西竞赛题)思维方法天地11.顺思逆想 设a,h为正实数,由知,当很小(此处约定)时,所以,于是利用公式()可求某些数的平方根的近似值.如.试计算的近似值(结果精确到小数点后第3位). (时代学习报数学文化节试题)12. 若a、b满足,则的取值范围是 . (全国初中数学联赛题)13. 已知实数a满足:,那么= .14. 已知非零实数a,b满足,则a+b等于( ).A.1 B.0 C.1 D.2 (“数学周报杯”全国初中数学竞赛题)15. 若a1,则化简后为( ).A. B. C. D. (“五羊杯”竞赛题)16. 如果实数a,b,c在数轴上的位置如图所示,那么代数式可以化简为( ).A.2ca B.2a2b C.a D.a (全国初中数学竞赛题)17. 已知实数a,b满足,求a+5b的算术平方根.18. 已知关于x,y的方程组,的解满足,求mn的值. (“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)应用探究乐园19. 阅读下面文字,解答问题:大家知道是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此的小数部分我们不可能全部地写出来,于是小明用来表示的小数部分,你同意小明的表示方法吗?事实上,小明的表示方法是有道理,因为的整数部分是1,将这个数减去其整数部分,差就是小数部分.又例如:,即,的整数部分为2,小数部分为.请解答:(1)如果的小数部分为a,的整数部分为b,求a+b+5的值;(2)已知,其中x是整数,且0y1,求的相反数;(3)已知的小数部分为a,的小数部分为b.求a+b的值.正难则反要证一个数是有理数,常证这个数能表示成几个有理数的和、差、积、商的形式;要证一个数是无理数,常用反证明,即假设这个数是有理数,设法推出矛盾.20.(1)若正有理数a不是有理数的n次方(n为大于1的整数),则是一个无理数.(2)若正有理数a,b都不是有理数的平方数,则是一个无理数.
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