,数学活动： 平面图形的镶嵌,好漂亮的地 砖!这是怎么铺 设的?一点空 隙也没有.,1. 你家客厅铺的地砖是什么形状的？ 2. 你还见过其他形状的地砖吗？,通过观察上面的图片，你发现它们有哪些共同特征？,从数学角度看，用一些不重叠摆放的图形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题,无缝隙,不重叠,探究活动1：只用一种正多边形镶嵌,正三角形的平面镶嵌,60,60,60,60,60,60,接点处各角度数和为（ ）度,正方形的平面镶嵌,90,接点处各角度数和为（ ）度,正六边形的平面镶嵌,120 ,120 ,120 ,接点处各角度数和为（ ）度,正五边形不能平面镶嵌,1,2,3,正五边形的每个内角都等于108度，360度不是108度整倍数.,60,60,60,60,60,60,90,90,90,90,120 ,120 ,120 ,拼接在同一个点的各个角 的和等于360度就可以镶嵌,这三种能够平面镶嵌的情况有什么共同特点？,我们知道，形状、大小完全相同的正三角形、正方形、正六边形能够平面镶嵌；,那你还能找到能够平面镶嵌的其他正多 边形吗？如果有，有哪些？如果没有，说明理由,想一想,解得,只用一个正多边形进行平面镶嵌，要求在公共顶点上所有内角之和为360度。,能单独镶嵌平面的正多边形只有三种： 正三角形、正四边形、正六边形,令正多边形的边数为n,拼接在公共顶点的正多边形个数为m,则有,(2003年中考题） 商店出售下列形状的地砖： 正方形；正三角形； 正五边形；正六边形。若只选择其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ） A.1种 B.2种 C.3种 D.4种,练习,C,探究活动2： 用形状、大小完全相同的任意 三角形能否镶嵌； 用形状、大小完全相同的任意 四边形能否镶嵌,形状、大小完全相同的任意三角形能够平面镶嵌,图中所标的6个角分别是两个全 等三角形的内角，所以它们的和等于 180度2=360度。,形状、大小完全相同的任意四边形 能够平面镶嵌,3,1,2,4,图中所标的四个角，恰好是一个四 边形的四个内角，它们的和等于360度。,1,2,3,4,用全等的三角形（或四边形）平面镶嵌的方法,取几个三角形（或四边形）的不同顶点处的内角围绕一点拼成360度，并使等边重合。,？,讨论：,1,2,3,4,探究活动三： 如果用 种边长相等的正多边形进行平面镶嵌，可以有哪些组合？,两,三，六；,八，四；,三，十二；,十，五,三，四；,设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正方形的角。,注意：同一个组合会有不同的镶嵌效果,1.两种边长相等的正多边形的平面镶嵌,（1） 正三角形与正方形的平面镶嵌,图案（）,（2）正三角形与正六边形的平面镶嵌,（2）正三角形与正六边形的平面镶嵌,图案（）,（3）正三角形和正十二边形平面镶嵌图案,（4）正八边形和正四边形平面镶嵌图案,（5）正十边形与正五边形的平面镶嵌,1. 边长为a的正方形与下列边长为a的正多边形组合起来，不能镶嵌成平面的是（ ） 正三角形；正四边形；正六边形；正八边形 A. B. C. D. ,2.（05山东）用两种正多边形镶嵌，不能与正三角形匹配的正多边形是 （ ） （A）正方形 （B）正六边形 （C）正十二边形 （D）正十八边形,练习,B,D,生活中利用镶嵌组成的美丽图案,生活中处处存在着数学之美,发现二: 用一种形状、大小完全相同的三角形， 四边形也能进行平面镶嵌,发现一: 同一种正多边形进行平面镶嵌的图形只有三种: 正三角形、正方形、正六边形,收获,发现三: 正多边形镶嵌的条件： （1）同一顶点的各角度数和为360度； （2）各个正多边形的边长要相等。,思考：,资料：用正多边形进行平面镶嵌只有以下这17组解。有书记载说明这17组解是1924年一个叫波尔亚的人给出的。实际上早在此之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰已经一个不少地制出了这些图样，真是令人叹为观止。,思考： 能否用四种边长相等的正多边形进行平面镶嵌，为什么？,发现二: 用一种形状、大小完全相同的三角形， 四边形也能进行平面镶嵌,发现一: 同一种正多边形进行平面镶嵌的图形只有三种: 正三角形、正方形、正六边形,小结,发现三: 正多边形镶嵌的条件： （1）同一顶点的各角度数和为360度； （2）各个正多边形的边长要相等。,作业,书后练习,