绵阳市高中2013级第三次诊断性考试数 学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1已知为虚数单位，复数满足，则复数所对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知，则A. B. C. D. 3执行如图所示的程序框图，则输出的为A. 4B. 6C. 7D. 84、“，使”是“”成立的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件5、已知实数，则点落在区域内的概率为A. B. C. D. 6甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学应用知识比赛，决出第1名至第5名（没有重复名次）. 已知甲、乙均为得到第1名，且乙不是最后一名，则5人的名次排列情况可能有A. 27种B. 48种C. 54种D. 72种7若函数同时满足以下三个性质：的最小正周期为；对于任意的，都有；在上是减函数，则的解析式可能是A. B. C. D. 8在长方体中，分别是棱上的动点，如图，当的长度取得最小值时，二面角的余弦值的取值范围为A. B. C. D. 9设是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点，且，过点作的垂线与抛物线交于点两点，则四边形面积的最小值为A. 80 B. 100 C. 120 D. 16010已知函数，关于的方程有四个相异的实数根，则的取值范围是A.B. C. D. 第II卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分. 11已知向量与共线且方向相同，则12若的展开式各项系数之和为64，则展开式的常数项为_.13某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示. 请根据以上数据分析，这个经营部定价在_元/桶才能获得最大利润14在平面直角坐标系中，点，. 若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是_. 15已知函数，其中常数，给出下列结论：是上的奇函数；当时，对任意的恒成立；的图像关于和对称；若对，使得，则. 其中正确的结论有_. （写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6个小题，共75分. 16（本小题满分12分）体育课上，李老师对初三（1）班50名学生进行跳绳测试. 现测得他们的成绩（单位：个）全部介于20到70之间，将这些成绩数据进行分组（第一组：，第二组：，第五组：），并绘制成如右图所示的频率分布直方图. （I）求成绩在第四组的人数和这50名同学跳绳成绩的中位数；（II）从成绩在第一组和第五组的同学中随机抽出3名同学进行搭档训练，设取自第一组的人数为，求的分布列及数学期望. 17（本小题满分12分）已知在中，角所对的边长分别为，且满足. （I）求的大小；（II）若，求的长18（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列的前项和为满足. （I）求数列的通项公式；（II）设为数列的前项和，若对恒成立，求实数的最小值. 19（本小题满分12分）如图，图为图空间图形的主视图和侧视图，其中侧视图为正方形. 在图中，设平面与平面相交于直线. （I）求证：平面；（II）在图中，线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值等于？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 20（本小题满分13分）已知椭圆的离心率为，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为2. （I）求椭圆的方程；（II）直线与椭圆交于两点，以为直径的圆与轴正半轴交于点，是否存在实数，使得的内切圆的圆心在轴上？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 21（本小题满分14分）设函数，其中是正常数，且. （I）求函数的最值；（II）对于任意的正数，是否存在正数，使不等式成立？并说明理由； （III）设，且，证明：对于任意正数都有. 参考答案一、 选择题AADCD CBBAD二、 填空题11. 212. -540 13. 11.514 15.三、 解答题16. （I）第四组的人数为16人，中位数为47.5（II）据题意，第一组有2人，第五组有4人于是，的分布列为01217（I）在中，原式利用正弦定理可化简为又又（II）在中，由，即，解得又由，得18（I）当时，解得当时，整理得（II）由题意得对恒成立令，则即对恒成立即数列为单调递减数列，最大值为，即的最小值为19（I）证明：由题意，面，面面又平面，面面由主视图可知，由侧视图可知，面面（II）建立如图所示空间直角坐标系，则则面的一个法向量为设，则解得或（舍）即存在满足题意的点，此时的位置在线段的处（靠近点）20（I）设焦点，则，从而由题意得，解得，又，故椭圆的方程为（II）依题意可知，且于是直线的斜率，直线的斜率设则，联立可得 联立，可得将式平方，并将式代入可得 或者故存在满足条件的值，分别为或21（I）当时，时，在上单调递减，在上单调递增。有最小值，没有最大值（II）对，使得成立，其理由如下令，则，所以在单调递减于是可得当时，故设则当时，在上单调递增，对于均有恒成立当时，由可得，由可得于是在是增函数，在是减函数，对于均有恒成立综上，对于任意的正数，都存在正数满足条件（III）证明：由（I）知，对时，都有即令，则在上是增函数电视墙也就是电视背景装饰墙，是居室装饰特别是大户型居室的重点之一，在装修中占据相当重要的地位，电视墙通常是为了弥补客厅中电视机背景墙面的空旷，同时起到修饰客厅的作用。因为电视墙是家人目光注视最多的地方，长年累月地看也会让人厌烦，所以其装修就尤为讲究绵阳市数学“三诊”考试题（理）及答案详解 第7页（共8页）