第十九章含参量积分,1 含参量正常积分,连续性定理 可微性定理 可积性定理 例题,上的连续函数,则积分,确定了一个定义在a, b上的函数,记作,x 称为参变量, 上式称为含参变量的积分.,一般地，设 f (x, y ) 为区域,上的二元函数, c ( x ), d ( x ) 在 a, b 连续，定义,含参量的积分,下面讨论含参量积分的连续性、,可微性和可积性.,定理19.1 (连续性),上连续, 则函数,在a, b上连续.,若,在矩形区域,分析,对任何 x a, b, 要证：,连续性定理,就有,即,(积分号下取极限),证,设 x, x+x a, b,在闭区域 R 上连续, 所以一致连续,由于,即,只要,就有,就有,这说明,所以，,同理可证,续,则含参变量的积分,定理19.1 表明,即在定理的条件下，极限运算与积分运算的顺序,是可交换的，或说可在积分号下取极限 .,若,上连续, 则,在矩形区域,在a, b上连续.,定理19.2（连续性） 如果函数 在区域,上连续，又函数 与 在区间 上连续，,则函数,在 a, b 上连续.,证,对积分用换元积分法，令,于是,从而,因为,在矩形 a, b 0, 1 上连续，由定理 19.1得,在 a, b 上连续,例1,求,解,记,因为,都是,的连续函数,所以,在,连续，从而,定理19.3 (可微性),都在,可微性定理,（积分号下求导数),分析:,要证：,即,使得当,时，有,对任意的,由拉格朗日中值定理，存在,使得,证:,所以,因此,从而一致连续，即,只要,，有,因此,故 I ( x ) 在 x 可导，且,由 x 的任意性，及定理 19.1知I ( x ) 在 a, b,有连续的导函数.,在定理的条件下,求导和求积分可交换次序,也说可在积分号下求导数,例2.,解:,考虑含参变量 t 的积分所确定的函数,显然,于是由定理19.3,故,因此得,定理19.4（可微性）,如果函数,在矩形,上连续，,在 a, b 上可微，且,证:,把 F ( x )看作复合函数：,由复合函数求导法则及变上限定积分的求导法则，有,例.,解:,例.,验证当 | x | 充分小时, 函数,的 n 阶导数存在, 且,证: 令,在原点的某个闭矩形邻域内连续,由定理19.4 可得,即,同理,当 x = 0 时，有,定理19.5 (可积性),上连续, 则函数,在a, b上可积.,若,在矩形区域,在c, d上可积.,可积性定理,记,统称为累次积分或二次积分.,问：累次积分与积分顺序有关吗？即是否有,定理19.6,上连续, 则,若,在矩形区域,证,记,其中,（积分交换顺序）,于是,所以,从而,( k 为常数 ),当 u = a 时，,于是，k = 0,即得,取 u = b , 就得,例4.,解:,由被积函数的特点想到积分:,内容小结,上连续, 则函数,在a, b上连续、可积.,若,在矩形区域,在c, d上连续、可积.,且,上连续, 则函数,在a, b上可微，且.,若,在矩形区域,在c, d上可微，且.,上连续, 则函数,若,在矩形区域,