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全等三角形(复习),一、全等三角形,1.什么是全等三角形?一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形?,2:全等三角形有哪些性质?,能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。,(1)全等三角形的对应边相等、对应角相等。 (2)全等三角形的周长相等、面积相等。 (3)全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。,知识回顾:,一般三角形 全等的条件:,1.定义(重合)法;,2.SSS;,3.SAS;,4.ASA;,5.AAS.,直角三角形 全等特有的条件:,HL.,包括直角三角形,不包括其它形状的三角形,三角形全等的判定方法:,边边边:三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“SSS”) 边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等 (可简写成“SAS”) 角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“ASA”) 角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写成“AAS”) 斜边.直角边:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“HL”),方法指引,证明两个三角形全等的基本思路:,(1):已知两边-,找第三边,(SSS),找夹角,(SAS),(2):已知一边一角-,已知一边和它的邻角,找是否有直角,(HL),已知一边和它的对角,找这边的另一个邻角(ASA),找这个角的另一个边(SAS),找这边的对角 (AAS),找一角(AAS),已知角是直角,找一边(HL),(3):已知两角-,找两角的夹边(ASA),找夹边外的任意边(AAS),练习,1.证明两个三角形全等,要结合题目的条件和结论,选择恰当的判定方法 2.全等三角形,是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一,证明时 要观察待证的线段或角,在哪两个可能全等的三角形中。 分析要证两个三角形全等,已有什么条件,还缺什么条件。 有公共边的,公共边一定是对应边, 有公共角的,公共角一定是对应角,有对顶角,对顶角也是对应角 总之,证明过程中能用简单方法的就不要绕弯路。,角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。,用法: QDOA,QEOB,QDQE 点Q在AOB的平分线上,角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,用法: QDOA,QEOB, 点Q在AOB的平分线上 QDQE,二、角的平分线 1.角平分线的性质:,2.角平分线的判定:,1.如图:在ABC中,C =900,AD平分 BAC,DEAB交AB于E,BC=30,BD:CD=3:2,则DE= 。,12,c,A,B,D,E,三.练习:,2.如图, ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证:点P到三边AB、BC、CA的距离相等,BM是ABC的角平分线,点P在BM上,PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等).,同理,PE=PF.,PDPE=PF.,即点P到三边AB、BC、CA的距离相等,证明:过点P作PDAB于D, PEBC于E,PFAC于F,3.如图,已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F, 求证:点F在DAE的平分线上,证明:,过点F作FGAE于G,FHAD于H,FMBC于M,G,H,M,点F在BCE的平分线上, FGAE, FMBC,FGFM,又点F在CBD的平分线上, FHAD, FMBC,FMFH,FGFH,点F在DAE的平分线上,4.已知,ABC和ECD都是等边三角形,且点B,C,D在一条直线上求证:BE=AD,变式:以上条件不变,将ABC绕点C旋转一定角度(大于零度而小于六十度),以上的结论海成立吗?,5:如图,已知E在AB上,1=2, 3=4,那么AC等于AD吗?为什么?,解:AC=AD,证明:,练习,7:如图,已知,EGAF,请你从下面三个条件中,再选出两个作为已知条件,另一个作为结论,推出一个正确的命题。(只写出一种情况)AB=AC DE=DF BE=CF 已知: EGAF 求证:,高,拓展题,8.已知AB=AE,AC=AD,ACAD,ABAE;,E,C,A,B,2,1,D,(2)怎样变换ABC和AED中的一个位置,可使它们重合?,(3)观察ABC和AED中对应边有怎样的位置关系?,(4)试证EDBC,(1)观察图中有没有全等三角形?,拓展题,9.如图,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF. 求证:BCEF,拓展题,10.如图,已知ACBD,EA、EB分别平分CAB和DBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗?请说明理由。,要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法: 1、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段,然后证明剩余的线段与另一条线段相等。(割) 2、把一个三角形移到另一位置,使两线段补成一条线段,再证明它与长线段相等。(补),11.如图:在四边形ABCD中,点E在边CD上,连接AE、BE并延长AE交BC的延长线于点F,给出下列5个关系式:ADBC,DE=EC1=2,3=4,AD+BC=AB。将其中三个关系式作为已知,另外两个作为结论,构成正确的命题。请用序号写出两个正确的命题:(书写形式:如果那么)(1) ;(2) ;,12.如图,在RABC中,ACB=450,BAC=900,AB=AC,点D是AB的中点,AFCD于H交BC于F,BEAC交AF的延长线于E,求证:BC垂直且平分DE.,13.已知:如图:在ABC中,BE、CF分别是AC、AB两边上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上截取CG=AB,连结AD、AG。 求证: ADG 为等腰直角三角形。,14.已知:如图21,ADBAC,DEAB于E,DFAC于F,DB=DC, 求证:EB=FC,总结提高,学习全等三角形应注意以下几个问题:,(1):要正确区分“对应边”与“对边”,“对应角”与 “对角”的不同含义;,(2):表示两个三角形全等时,表示对应顶点的字母要写在对应的位置上;,(3):要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等;,(4):时刻注意图形中的隐含条件,如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”,
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