,12.3角平分线的性质,1、在准备好的角上标好字母；A,O,B, 。把角AOB对折，使得这个角的两边重合。,2、在折痕（即平分线）上任意找一点P。作PD垂直与OA，垂足为D。,3、过点P作OB边的垂线PE，垂足为E。,问：点D与点E重合吗？由此你可得到什么结论？,按照做一做的顺序画AOB的折痕OC ,过点P的垂线段PD、PE ，并度量所画PD、PE是否等长？,议一议：由此你可得到什么猜想？,画一画,同学甲、乙谁的画法是正确的?,议一议：由做一做和画一画你可得到什么猜想？,已知:如图,OC是AOB的平分线,P是OC上任意一点PDOA,PEOB,垂足分别是D,E. 求证:PD=PE.,而OPDOPE的条件由已知易知它满足公理(AAS).,故结论可证.,老师期望:你能写出规范的证明过程.,分析:要证明PD=PE,只要证明它们所在的OPDOPE，,角平分线上的点到这个角的两边距离相等.,能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话请填下表：,PD=PE,OC平分AOB，PDOA, PEOB, D、E为垂足,于是我们得角的平分线的性质： 在角的平分线上的点到角的两边的距离相等,到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？,议 一 议,根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：,点P在AOB的平分线上,这样，我们又可以得到一个结论： 到角的两边距离相等的点在角的平分线上。,请同学们自己写出证明过程,证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、 BC、CA，垂足分别为D、E、F,BM是ABC的角平分线，点P在BM上 PD=PE（在角平分线上的点到角的两边 的距离相等） 同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即点P到边AB、BC、 CA的距离相等,想一想，点P在A 的 平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？,畅 谈 收 获,小结:,，,B,如图所示OC是AOB 的平分线,P 是OC上任意一点,问PE=PD?为什么?,PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等直,思考：要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）,练习1：如图，的的外角的平分线与的外角的平分线相交于点求证：点到三边，所在直线的距离相等,F,G,H,练习2： 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到AOB的两边的距离相等.,如图，在ABC中，AC=BC，C=90，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E。 （1）已知CD=4cm，求AC的长； （2）求证：AB=AC+CD,再见,