二次函数与一元二次方程,二次函数的一般式：,（a0）,_是自变量，_是_的函数。,x,y,x,当 y = 0 时，,ax + bx + c = 0,ax + bx + c = 0,这是什么方程？,是我们已学习的“一元二次方程”,一元二次方程根的情况与b-4ac的关系？,探究一：二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0有什么关系?,1、一次函数y=kx+b与一元一次方程kx+b=0有什么关系?,2、你能否用类比的方法猜想二次函数y=ax2+bx+c与 一元二次方程ax2+bx+c=0的关系?,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t 5 t 2 考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间? （2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间? （3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间?,解：（1）当 h = 15 时，,20 t 5 t 2 = 15,t 2 4 t 3 = 0,t 1 = 1，t 2 = 3,当球飞行 1s 和 3s 时，它的高度为 15m .,1s,3s,15 m,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30角的方向击出时， 球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球 的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t 5 t 2 考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间?,（2）当 h = 20 时，,20 t 5 t 2 = 20,t 2 4 t 4 = 0,t 1 = t 2 = 2,当球飞行 2s 时，它的高度为 20m .,2s,20 m,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30角的方向击出时， 球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的 飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t 5 t 2 考虑下列问题:（2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间?,（3）当 h = 20.5 时，,20 t 5 t 2 = 20.5,t 2 4 t 4.1 = 0,因为(4)244.1 0 ，所以方程无实根。 球的飞行高度达不到 20.5 m.,20.5 m,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30角的方向击出时，球的飞行路线 是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行 时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t 5 t 2 考虑下列问题:（3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？,（4）当 h = 0 时，,20 t 5 t 2 = 0,t 2 4 t = 0,t 1 = 0，t 2 = 4,当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ，即 0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面。,0s,4s,0 m,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30角的方向击出时，球的飞行路线 是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时 间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t 5 t 2 考虑下列问题:（4）球从飞出到落地要用多少时间?,从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?,一般地，当y取定值时，二次函数为一元二次方程。,如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程。,自由讨论,例如,已知二次函数y=-X2+4x的值为3,求自变量x的值.,就是求方程3=-X2+4x的解,例如,解方程X2-4x+3=0,就是已知二次函数y=X2-4x+3的值为0,求自变量x的值.,已知二次函数，求自变量的值,解一元二次方程的根,二次函数与一元二次方程的关系（1）,1、二次函数y = x2+x-2 , y = x2 - 6x +9 , y = x2 x+ 1的图象如图所示。,(1).每个图象与x轴有几个交点？ (2).一元二次方程? x2+x-2=0 , x2 - 6x +9=0有几个根? 验证一下一元二次方程x2 x+ 1 =0有根吗? (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?,答：2个，1个，0个,边观察边思考,(3),二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?,(-2,0),(1,0),x1=-2,x2=1,(3,0),x1=x2=3,无交点,无实根,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标是方程ax2+bx+c =0的根。,归纳,一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0),下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗? 若有，求出交点坐标. （1） y = 2x2x3 （2） y = 4x2 4x +1 （3） y = x2 x+ 1,令 y= 0，解一元二次方程的根,（1） y = 2x2x3,解：当 y = 0 时，,2x2x3 = 0,（2x3）（x1） = 0,x 1 = ，x 2 = 1,所以与 x 轴有交点，有两个交点。,y =a（xx1）（x x 2）,二次函数的交点式,（2） y = 4x2 4x +1,解：当 y = 0 时，,4x2 4x +1 = 0,（2x1）2 = 0,x 1 = x 2 =,所以与 x 轴有一个交点。,（3） y = x2 x+ 1,解：当 y = 0 时，,x2 x+ 1 = 0,所以与 x 轴没有交点。,因为（-1）2411 = 3 0,课堂小结,这节课你有哪些收获？,升华提高,体会两种思想：,数形结合思想,弄清一种关系-函数与一元二次方程的关系,分类讨论思想,