13.3.1 等腰三角形,建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你想了解其中的奥秘吗？,创 设 情 境,房梁,等腰三角形,如图，拿出一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它打开，得到的三角形ABC有什么特点？,有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.,底边,A,C,B,D,ABAC,BDCD,ADAD,B C,BADCAD,ADBADC,AD为ABC底边的中线,AD为ABC顶角的角平分线,AD为ABC底边的高,把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角，完成下表。,等腰三角形除了两腰相等以外,你还能发现它的其他性质吗?,1、等腰三角形的两个底角相等.,2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.,A,C,B,D,已知：ABC中，AB=AC.,求证：B=C.,分析：1.如何证明两个角相等？,2.如何构造两个全等的三角形？,等腰三角形的两个底角相等,已知： 如图，在ABC中，AB=AC. 求证： B= C.,等腰三角形的两个底角相等。,D,证明：,作底边的中线AD，则BD=CD,AB=AC ( 已知 ),BD=CD ( 已作 ),AD=AD (公共边), BAD CAD (SSS)., B= C (全等三角形的对应角相等).,在BAD和CAD中,方法一：作底边上的中线,已知： 如图，在ABC中，AB=AC. 求证： B= C.,等腰三角形的两个底角相等。,D,证明：,作顶角的平分线AD，则1=2,AB=AC ( 已知 ),1=2 ( 已作 ),AD=AD (公共边), BAD CAD (SAS)., B= C (全等三角形的对应角相等).,方法二：作顶角的平分线,在BAD和CAD中,1,已知： 如图，在ABC中，AB=AC. 求证： B= C.,等腰三角形的两个底角相等。,D,证明：,作底边的高线AD，则BDA=CDA=90,AB=AC ( 已知 ),AD=AD (公共边), RtBAD RtCAD (HL)., B= C (全等三角形的对应角相等).,方法三：作底边的高线,在RtBAD和RtCAD中,性质 1： 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）,等腰三角形的性质 :,性质2： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）.,A,B,D,C,在ABC中 （1）AB=AC，ADBC，_=_，_=_；,B,C,BD,CD,B,C,AD,BC,AD,BC,BD,CD,在ABC中AB=AC，_=_,B,C,（2）AB=AC，AD是中线， =_ _；,（3）AB=AC，AD是角平分线，_，_=_。,建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗?,解 决 问 题,房梁,等腰三角形,1、如图：在ABC中，AB=AC，B=50, 则C= ,A=_ _.,50, 80,70,40或55,55,30,30,【跟踪训练】,变式1、在ABC中，AB=AC，其中一个角为70, 它的另外两个角为_.,变式2、在ABC中，AB=AC，其中一个角为120, 它的另外两个角为_.,变式3、在ABC中，AB=AC，底角比顶角大15，则三个角分别为 _,50,65,65,如图，在ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度数.,【例题】,如图，等腰ABC中，AB=AC，A=20,AD=BD，则CBD等于多少度,【练习1】,1、等腰三角形的顶角一定是锐角。 2、等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、 钝角都可以。 3、等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边。 4、等腰三角形的角平分线、中线和高互相重 合。 5、等腰三角形底边上的中线一定平分顶角,（X）,（X）,（）,（X）,（）,明辨是非,提升与拓展：,如图：点B、C、D、E、F在MAN的边上， AB=BC=CDDE=EF， (1)A=15，求 MEF的度数。,(2)A=x，求 MEF的度数。,两个底角相等，简称“等边对等角”,顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相 重合，简称“三线合 一”,分类讨论思想的应用,轴对称图形,等腰三角形的性质,对称，尽管你可以规定其含义或宽或窄，然而从古至今都是人们用来理解和创造秩序，美妙和尽善尽美的一种思想。 赫尔曼韦尔 对称原理乃是数学中“最有力量和最优雅”的解题方法之一。,