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饮酒驾车的数学模型学院:数学学院姓名:赵景阳班级:15-数学四班学号:【摘要】本文的目的在于,通过对人饮酒后体内酒精含量进行建模,然后根据所建模型,对相关问题进行分析和处理,并予以解决。本文主要根据假设合理条件,用常微分方程建立酒精在人体内的变化模型。以时间为变量,分类讨论酒精在人体内的变化。最后,根据国家酒驾标准,结合所建立的模型,给司机朋友发出忠告。【关键词】房室系统、MATLAB、酒后驾车,常微分方程。一、问题重述小王,12点喝一瓶啤酒,18:00被检查合格,吃晚饭喝一瓶啤酒,夜里 2点,开车回家。讨论问题:(1) 如果小王凌晨2点驾车上路遇到酒驾检查,问他能否顺利通过?(2) 喝3瓶啤酒,隔多久开车会违反标准,并回答:1)酒是在很短时间内喝的;2)较长一段时间内喝的。(2小时内)3)估计体内酒精含量达到MAX的确切时间。4)根据你的模型论证:如果天天喝酒,是否还能开车?5)提出忠告。参考数据1.国家标准:驾驶员血液的酒精含量20毫克百毫升,T时,中心室酒精浓度与时间关系式:ct=k1xT(k1-k2)v0e-k2t-T-e-k1t-T+cTe-k2t-T xT=k1x0-k0k1e-k2T+k0k1=k0k1(1-e-k1T)cT=k0k2y0(1-e-k2T)+k0 k2-k1(e-k1T-e-k2T)综上所述,当tT:ct=k1xT(k1-k2)v0e-k2t-T-e-k1t-T+cTe-k2t-TxT=k0k1(1-e-k1T)cT=k0k2y0(1-e-k2T)+k0 k2-k1(e-k1T-e-k2T)(17)五、问题求解问题一:设小王第一次喝酒在短时间内完成,我们可以得到关系式:ct= k1 D0(k1-k2)v0e-k2t-e-k1t已求解:k1=2.114,k2=0.1940,D0=23328mg, v0=433.33。 ct=59.27295e-0.1940t-e-2.114t当时,得ct=18.2778毫克/百毫升,未超过国家标准,所以第一次检查时没有饮酒驾驶,如图图三小王第二次喝酒满足在较长时间内喝酒的条件,关系式:ct= Ae-k2t-e-k1t+ Ae-k2(t-T)-e-k1(t-T)其中,A=59.27295, k2=0.1940,k1=2.114,T=6。t=14,ct=20.3618毫克/百毫升,20mg/100ml,所以小王凌晨2点驾车上路遇到酒驾检查,无法通过,见下图:图四问题二:(2) 较短时间条件下,根据模型,关系式:ct=ce-k2t+k0k2y0+k1x0-k0 (k2-k1)v0e-k1t由于t十分小,x0=D0,k0=0 则: ct=ce-k2t-k1 D0(k2-k1)v0e-k1t又c0=0ct=k1 D0(k2-k1)v0(e-k2t-e-k1t)三瓶啤酒,D0=36408104.5%=69984mg,v0=7065%1031.05100=433.33百毫升,k2=0.1915,k1=2.114。所以: 当时,可求得t=11.3。故此条件下,经过11.3小时后开车,不是饮酒驾车。(2)当较长时间内喝酒时,体液内洒精含量与时间关系式:此时,因为已知,百毫升,t=13.5小时,在较长时间(如二个小时)喝下三瓶啤酒后,只有在13.5小时后开车,就不会违反规定。问题三:(1) 短时间内喝酒时根据模型可知: 当ct=0时,得: 当时,取得峰值(2)、当在较长时间内喝酒时时, 求导得: cct=k1 k0(k1-k2)v0(e-k2t-e-k1t)由K1大于K2知,中心室酒精浓度不可能达到MAX。时,其中当T比较大时, , ,对求导得: ct=k1 xT(k1-k2)k2v0e-k2(t-T)-k0 (k1-k2)v0e-k2(t-T)可以推出: 由K1K2知,中心室酒精浓度不可能在tT时达到max。综上所述,长时间喝酒,酒精含量达到峰值的确切时间是在喝酒结束。所以二个小时时含量最高。问题四:倘若每天喝酒,每次酒量均匀,每隔喝一次;n次后,时间t=nT,T1.23. n次模型相加,即:当n时,上式可近似为如不被判定为饮酒驾车,则:cnT20,代入: A=啤酒瓶数为 a。综上所述,每天饮酒不超过1.7瓶,就不会违反规定。给司机朋友的
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